分类： 线性代数

一、题目

已知向量组 ${\mathit{\alpha }}_1=(1,0,1,2{)}^{\mathrm{\top }}$, ${\mathit{\alpha }}_2=(1,1,3,1{)}^{\mathrm{\top }}$, ${\mathit{\alpha }}_3=(2,-1,a,5{)}^{\mathrm{\top }}$ 线性相关，则 $a=?$

难度评级：

继续阅读“三个四维列向量线性无关有什么性质？秩小于 3 还是小于 4 ?”

一、题目

已知向量 $\mathit{\beta }=(1,a,-1{)}^{\mathrm{\top }}$ 可以由 ${\mathit{\alpha }}_1=(a+2,7,1{)}^{\mathrm{\top }},{\mathit{\alpha }}_2=(1,-1,2{)}^{\mathrm{\top }}$ 线性表出，则 $a=?$

难度评级：

继续阅读“只要存在线性相关的向量，则组成的行列式一定值为零——但一定要记得验证所得未知数的值是否会导致原本线性无关的向量变得线性相关”

一、题目

已知 $\mathit{A}$ 是三阶矩阵，其特征值是 $1,3,-2$, 相应的特征向量依次为 ${\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,{\mathit{\alpha }}_3$, 若 $\mathit{P}=[{\mathit{\alpha }}_1,2{\mathit{\alpha }}_3,-{\mathit{\alpha }}_2]$, 则 ${\mathit{P}}^{-1}\mathit{A}\mathit{P}=?$

难度评级：

继续阅读“将特征向量乘以一个倍数 k 并不会改变其原本对应的特征值”

一、题目

已知，矩阵 $\mathit{A}=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& -2\\ 4& -3& 3\\ 2& -1& 1\end{array}\right]$, 那么矩阵 $\mathit{A}$ 的三个特征值是（）

难度评级：

继续阅读“考研数学最重要的就是公式和计算：来算一个矩阵的特征值吧”

一、题目

已知 $\mathit{A}=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& -1\\ 0& 0& -1& 1\end{array}\right]$, 则 ${\mathit{A}}^5=?$

难度评级：

继续阅读“分块矩阵的 n 次方：初等矩阵的 n 次方、秩为 1 的矩阵的 n 次方”

一、题目

已知 $\mathit{A}=\left[\begin{array}{ccc}2& -1& 3\\ 4& -2& 6\\ -2& 1& -3\end{array}\right]$, 则 ${\mathit{A}}^{10}=?$

难度评级：

继续阅读“秩为 1 的矩阵的 n 次方你会求解吗”

一、题目

下面的矩阵中与矩阵 $\mathit{A}=\left[\begin{array}{lll}2& 0& 0\\ 0& 3& 4\\ 0& 4& 3\end{array}\right]$ 合同的矩阵是哪一个？

(A) $\left[\begin{array}{lll}1& & \\ & 1& \\ & & 0\end{array}\right]$

(B) $\left[\begin{array}{lll}1& & \\ & 3& \\ & & -2\end{array}\right]$

(C) $\left[\begin{array}{lll}1& & \\ & -1& \\ & & -1\end{array}\right]$

(D) $\left[\begin{array}{lll}1& & \\ & 2& \\ & & 3\end{array}\right]$

难度评级：

继续阅读“若实对称矩阵有相同的正负惯性指数，则一定合同”

一、题目

下列矩阵中, 正定矩阵是哪一个？

(A) $\left[\begin{array}{ccc}1& 2& -3\\ 2& 7& 5\\ -3& 5& 0\end{array}\right]$

(B) $\left[\begin{array}{ccc}1& 2& -3\\ 2& 4& 5\\ -3& 5& 7\end{array}\right]$

(C) $\left[\begin{array}{ccc}5& -2& 0\\ -2& 6& -2\\ 0& -2& 1\end{array}\right]$

(D) $\left[\begin{array}{ccc}5& 2& 0\\ 2& 6& 3\\ 0& 3& -1\end{array}\right]$

难度评级：

继续阅读“正定矩阵典型例题来啦”

一、前言

你知道怎么判断一个矩阵是否是正定矩阵吗？

难度评级：

继续阅读“怎么判断一个矩阵是否是正定矩阵？”

一、题目

下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是哪一个矩阵：

(A) $\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 2& 3\\ -1& 3& 5\end{array}\right]$

(B) $\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& 3& 0\\ -1& 5& -1\end{array}\right]$

(C) $\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 2& 0& -2\\ -3& 0& 3\end{array}\right]$

(D) $\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 3\\ 0& 0& -1\end{array}\right]$

难度评级：

继续阅读“这一道题几乎把所有关于矩阵相似对角化的知识都考察到了”

一、前言

你知道在哪些形式的矩阵中，矩阵对角线上的元素就是该矩阵的特征值吗？

难度评级：

！注意： 实对称矩阵主对角线上的元素不一定是特征值。

继续阅读“什么情况下主对角线上的元素就是矩阵的特征值？”

一、前言

你知道如何判断一个矩阵是否可以相似对角化吗？

难度评级：

继续阅读“什么样的矩阵一定可以相似对角化？”

一、题目

已知 $\mathit{A}$ 是四阶矩阵，${\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,{\mathit{\alpha }}_3$ 是 $3$ 维线性无关的列向量，且有 $\mathit{A}{\mathit{\alpha }}_1=3{\mathit{\alpha }}_1,\mathit{A}{\mathit{\alpha }}_2=3{\mathit{\alpha }}_2$, $\mathit{A}{\mathit{\alpha }}_3=\mathbf{0}$, 又知 ${\mathit{P}}^{-1}\mathit{A}\mathit{P}=\left[\begin{array}{lll}3& & \\ & 3& \\ & & 0\end{array}\right]$, 则 $\mathit{P}$ 可以是：

(A) $[{\mathit{\alpha }}_1+{\mathit{\alpha }}_2,2{\mathit{\alpha }}_2,-3{\mathit{\alpha }}_3]$.

(B) $[{\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,{\mathit{\alpha }}_2+{\mathit{\alpha }}_3]$.

(C) $[{\mathit{\alpha }}_1+{\mathit{\alpha }}_2,2{\mathit{\alpha }}_1+2{\mathit{\alpha }}_2,{\mathit{\alpha }}_3]$.

(D) $[{\mathit{\alpha }}_2,{\mathit{\alpha }}_3,{\mathit{\alpha }}_1]$.

难度评级：

继续阅读“相似对角化得到的对角矩阵主对角线上的元素就是特征值：做初等变换的矩阵 P 由与这些特征值依次对应的特征向量组成”

一、题目

以下向量不可能是矩阵 $\mathit{A}=\left[\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 2& 4& -2\\ -3& -3& 5\end{array}\right]$ 的特征向量的是哪一个？

(A) $(-1,1,0{)}^{\mathrm{\top }}$.

(B) $(1,-2,3{)}^{\mathrm{\top }}$.

(C) $(1,2,-1{)}^{\mathrm{\top }}$.

(D) $(3,-3,0{)}^{\mathrm{\top }}$.

难度评级：

继续阅读“这道题千万不能先求解特征值再求解特征向量：直接用排除法即可”

一、题目

齐次方程组 $Ax=0$ 有非零解的充分必要条件是什么？

难度评级：

继续阅读“齐次线性方程组是否有非零解与系数矩阵的列向量是否相关有关”