下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是哪一个矩阵：
(A) $\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 3 \\ -1 & 3 & 5\end{array}\right]$
(B) $\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ -1 & 5 & -1\end{array}\right]$
(C) $\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 2 & 0 & -2 \\ -3 & 0 & 3\end{array}\right]$
(D) $\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]$
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继续阅读“这一道题几乎把所有关于矩阵相似对角化的知识都考察到了”
你知道在哪些形式的矩阵中，矩阵对角线上的元素就是该矩阵的特征值吗？
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！注意： 实对称矩阵主对角线上的元素不一定是特征值。
继续阅读“什么情况下主对角线上的元素就是矩阵的特征值？”已知 $\boldsymbol{A}$ 是四阶矩阵，$\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 是 $3$ 维线性无关的列向量，且有 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1}=3 \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{2}=3 \boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{3}=\mathbf{0}$, 又知 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\left[\begin{array}{lll}3 & & \\ & 3 & \\ & & 0\end{array}\right]$, 则 $\boldsymbol{P}$ 可以是：
(A) $\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, 2 \boldsymbol{\alpha}_{2},-3 \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$.
(B) $\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$.
(C) $\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, 2 \boldsymbol{\alpha}_{1}+2 \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$.
(D) $\left[\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{1}\right]$.
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继续阅读“相似对角化得到的对角矩阵主对角线上的元素就是特征值：做初等变换的矩阵 P 由与这些特征值依次对应的特征向量组成”以下向量不可能是矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 2 & 4 & -2 \\ -3 & -3 & 5\end{array}\right]$ 的特征向量的是哪一个？
(A) $(-1,1,0)^{\mathrm{\top}}$.
(B) $(1,-2,3)^{\mathrm{\top}}$.
(C) $(1,2,-1)^{\mathrm{\top}}$.
(D) $(3,-3,0)^{\mathrm{\top}}$.
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继续阅读“这道题千万不能先求解特征值再求解特征向量：直接用排除法即可”已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶可逆矩阵，$\boldsymbol{\lambda}=2$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的一个特征值，则 $\frac{1}{3} \boldsymbol{A}^{2}-2 \boldsymbol{E}$ 必有特征值（）
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继续阅读“对矩阵的运算会同步反映到矩阵的特征值上”要使 $\boldsymbol{\eta}_{1}=(1,0,2)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\eta}_{2}=(0,1,-1)^{\mathrm{\top}}$ 都是齐次方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解，则矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可 以是下列哪一个？
(A) $\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & -1 \\ 4 & 0 & -2\end{array}\right]$.
(B) $\left[\begin{array}{ccc}2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right]$.
(C) $\left[\begin{array}{ccc}4 & -2 & -2 \\ 2 & -1 & -1 \\ -6 & 3 & 3\end{array}\right]$.
(D) $\left[\begin{array}{ccc}4 & -2 & -2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right]$.
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继续阅读“线性方程组有几个自由未知数，就有几个线性无关的解向量”已知，齐次方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的系数矩阵化为阶梯形是 $\left[\begin{array}{ccccc}1 & -1 & 0 & -2 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]$, 则方程组自由变量不能取成下列的哪一项？
(A) $x_{2}, x_{3}$.
(B) $x_{2}, x_{5}$.
(C) $x_{1}, x_{4}$.
(D) $x_{1}, x_{2}$.
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继续阅读“自由未知数和非自由未知数的取值不是固定的也不是任意的”已知 $\boldsymbol{\alpha}=(1,-1,0)^{\mathrm{T}}$ 是二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=a x_{1}^{2}-2 x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}+2 b x_{2} x_{3}$ 的特征向量, 则此二次型经正交变换所得标准形是（）
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继续阅读“二次型中标准型所用的特征值的书写顺序有特殊规定吗？没有，但一般按照从小到大，或者从大到小的顺序写——如果有特征向量，则特征值要与特征向量顺序保持一致”二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=x_{1}^{2}+4 x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+4 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}+4 x_{2} x_{3}$ 在正交变换下的标准形为（）
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继续阅读“正交变换下标准型的变量 $y^{2}$ 的系数就是二次型矩阵的特征值”若二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ $=$ $a x_{1}^{2}+4 x_{2}^{2}+a x_{3}^{2}+6 x_{1} x_{2}+2 x_{2} x_{3}$ 是正定的，则 $a$ 的取值范围是多少？
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继续阅读“正定二次型的各阶顺序主子式的值都大于零”二次型 $2 x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}+2 x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}-2 x_{2} x_{3}$ 的正惯性指数 $p=?$
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继续阅读“正惯性指数就是二次型对应的矩阵 A 的正特征值的个数”已知二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ $=$ $a x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}+a x_{3}^{2}+6 x_{1} x_{2}+2 x_{2} x_{3}$ 的秩为 2 , 则 $a=?$
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继续阅读“你知道怎么由二次型式子写出对应的矩阵 A 吗”已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶实对称矩阵，若正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^{-1} A Q=\left[\begin{array}{lll}3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 6\end{array}\right]$, 如果 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1$, $0,-1)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(0,1,1)^{\mathrm{\top}}$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 属于特征值 $\lambda=3$ 的特征向量，则 $Q=?$
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继续阅读“实对称矩阵相似对角化时涉及到的正交化和单位化怎么算？”