分类： 线性代数

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & 2\end{array}\right]$, 则和矩阵 $\boldsymbol{A}$ 相似的对角矩阵是（）

难度评级：

继续阅读“特征值各不相同的矩阵 A 一定可以相似对角化，且与 A 相似的对角矩阵的主对角线就是由 A 的特征值所组成”

一、题目

已知 $\boldsymbol{\alpha}=(1,1,-1)^{\mathrm{\top}}$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}7 & 4 & -1 \\ 4 & 7 & -1 \\ -4 & -4 & x\end{array}\right]$ 的特征向量，则 $x=?$

难度评级：

继续阅读“你知道怎么在已知特征向量得前提下求解矩阵中得未知数吗”

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶可逆矩阵, $\lambda$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征值（$\lambda \neq 0$）, 则 $\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{2}+\boldsymbol{E}$ 必有特征值（）

难度评级：

继续阅读“你知道怎么在已知矩阵特征值的情况下求解伴随矩阵得特征值吗”

一、题目

已知 $-2$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}0 & -2 & -2 \\ 2 & x & -2 \\ -2 & 2 & 6\end{array}\right]$ 的特征值，则 $x=?$

难度评级：

继续阅读“已知特征值求矩阵中未知数时就不要想着怎么凑出来简化版的求特征值的式子了”

一、题目

设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right]$, 则和矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可交换的矩阵是（）

难度评级：

继续阅读“什么是可交换的矩阵？就是使 AB = BA 成立的矩阵”

一、题目

若对于任意的 $b=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right)^{\mathrm{\top}}$, 方程组 $\left\{\begin{array}{l}
2 x_{1}+\lambda x_{2}-x_{3}=b_{1} \\
\lambda x_{1}-x_{2}+x_{3}=b_{2} \\
4 x_{1}+5 x_{2}-5 x_{3}=b_{3}
\end{array}\right.$ 总有解，则 $\lambda$ 应满足什么条件？

难度评级：

继续阅读“若要使 n 个 n 维向量可以表示任意一个 n 维向量，这 n 个 n 维向量必须线性无关”

一、题目

已知方程组 $\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & -3 \\ 0 & 1 & a-2 \\ 3 & a & 5\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2 \\ a \\ 16\end{array}\right]$ 有无穷多解，则 $a=?$

难度评级：

继续阅读“有无穷多解的非齐次线性方程组扩展矩阵的秩一定小于未知数的个数”

一、题目

已知齐次方程组 $\left\{\begin{array}{l}
\lambda x_{1}+x_{2}+x_{3}=0 \\
x_{1}+\lambda x_{2}+x_{3}=0 \\
x_{1}+x_{2}+x_{3}=0
\end{array}\right.$ 只有零解，则 $\lambda$ 满足什么条件。

难度评级：

继续阅读“只有零解的齐次线性方程组的系数矩阵对应的行列式一定不等于零”

一、题目

四元齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_{1}+2 x_{4}=0 \\ x_{3}-3 x_{4}=0\end{array}\right.$ 的基础解系是（）

难度评级：

继续阅读“求解基础解系的方法：每次令一个自由未知数值为 1, 其余自由未知数值为 0, 求解对应的非自由未知数的值（极大线性无关组对应非自由未知数）”

一、前言

在求解线性方程组基础解系时，到底哪些是自由未知数，哪些是非自由未知数，哪些先赋值，哪些不赋值，是不是“傻傻分不清”？背会本文这个顺口溜，就很容易记住啦！

继续阅读“求解线性方程组基础解系的顺口溜”

一、题目

向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,-1,3,0)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(-2,1,-2,1)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(1,1,-5,-2)^{\mathrm{\top}}$ 的极大线性无关组是（）

难度评级：

继续阅读“极大线性无关组的选取不一定是某个固定的组合：只要线性无关且再加一个向量就线性相关即可”

一、题目

已知，向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,1,2,-2)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,2, a,-2)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(-1,1,6,2)^{\mathrm{\top}}$ 的秩为 $2$, 则 $a=?$

难度评级：

继续阅读“这个三阶矩阵秩为 2 怎么算？化简即可”

一、题目

已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,2,3)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(3,-1,2)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(2,3, a)^{\mathrm{\top}}$ 线性无关，则 $a$ _

难度评级：

继续阅读“不是所有题目都会问我们未知数的值是多少——也有可能会问我们未知数的值不是多少”

一、题目

已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关，若 $\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, a \boldsymbol{\alpha}_{2}-\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{1}-\boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性相关，则 $a=?$

难度评级：

继续阅读“线性无关的向量经运算之后变相关，则背后隐藏的矩阵一定线性相关”

一、题目

已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,0,1,2)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,1,3,1)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}=(2,-1, a, 5)^{\mathrm{\top}}$ 线性相关，则 $a=?$

难度评级：

继续阅读“三个四维列向量线性无关有什么性质？秩小于 3 还是小于 4 ?”