分类： 线性代数

一、题目

已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & a+2 \\ 1 & a & -2\end{array}\right]$ 和 $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & a \\ -1 & a & 1 \\ 1 & -1 & 2\end{array}\right]$ 不等价，则 $a=?$

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一、题目

已知，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 满足对任意 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 均有 $\boldsymbol{A}\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}+x_{3} \\ 2 x_{1}-x_{2}+x_{3} \\ x_{2}-x_{3}\end{array}\right)$. 请求解以下两个问题：
[1]. 求 $A$;

[2]. 求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 与对角矩阵 $\boldsymbol{\Lambda}$, 使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\boldsymbol{\Lambda}$.

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一、题目

已知 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶可逆矩阵, $\boldsymbol{E}$ 为 $n$ 阶单位矩阵，则伴随矩阵 $\left(\begin{array}{cc}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{E} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}\end{array}\right)^{*}=?$

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一、前言

口诀全文（版本一）：

主对角线直接逆；
副对角线交换逆；
上下三角副对角线上的不取逆；
上下三角加负号顺时针串联。

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口诀全文（版本二）：

主对角线 AB 逆；
副对角线 BA 逆；
上下三角 C 不逆；
顺时针串联加负号。

一、题目

二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ $=$ $\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}+\left(x_{1}+x_{3}\right)^{2}-4\left(x_{2}-x_{3}\right)^{2}$ 的规范形怎么写？

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一、题目

已知，线性方程组 $A x=\alpha$ 有解, $\left(\begin{array}{l}A \\ B\end{array}\right) x=\left(\begin{array}{l}\alpha \\ \beta\end{array}\right)$ 无解，则下列结论中正确的是哪个？

A. $r(B, \beta)=r(B)+1$

B. $r\left(\begin{array}{ll}A & \alpha \\ B & \beta\end{array}\right)<r\left(\begin{array}{l}A \\ B\end{array}\right)+1$

C. $r\left[B^{\mathrm{\top}}(B, \beta)\right]>r\left(B^{\mathrm{\top}} B\right)$

D. $r\left[\left(A^{\mathrm{\top}}, B^{\mathrm{\top}}\right)\left(\begin{array}{ll}A & \alpha \\ B & \beta\end{array}\right)\right]=r\left[\left(A^{\mathrm{\top}}, B^{\mathrm{\top}}\right)\left(\begin{array}{l}A \\ B\end{array}\right)\right]$

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一、题目

行列式 $\left|\begin{array}{llll}a & 1 & 0 & 0 \\ b & a & 1 & 0 \\ 0 & b & a & 1 \\ 0 & 0 & b & a\end{array}\right|=?$

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一、题目

已知，有四阶行列式 $D$ $=$ $\left|\begin{array}{cccc}1 & 0 & 4 & 0 \\ 2 & -1 & -1 & 2 \\ 0 & -6 & 0 & 0 \\ 2 & 4 & -1 & 2\end{array}\right|$, 则其第四行各元素代数余子式之和，即 $A_{41}+A_{42}+A_{43}+A_{44}=?$

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一、题目

已知，二阶实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的一个特征向量为 $\left(\begin{array}{c}-3 \\ 1\end{array}\right)$, 且 $|\boldsymbol{A}|<0$, 则 $k\left(\begin{array}{c}-3 \\ 1\end{array}\right)$、$\left(\begin{array}{l}1 \\ 3\end{array}\right)$、$k_{1}\left(\begin{array}{c}-3 \\ 1\end{array}\right)+k_{2}\left(\begin{array}{l}1 \\ 3\end{array}\right)$ $(k_{1} \neq 0$ 且 $k_{2} \neq 0)$ 和 $k_{1}\left(\begin{array}{c}-3 \\ 1\end{array}\right)+k_{2}\left(\begin{array}{l}1 \\ 3\end{array}\right)$（$k_{1}$ 和 $k_{2}$ 不同时为零）中，一定是 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量的是哪个或哪些？

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一、题目

已知，线性方程组 $\left\{\begin{array}{c}x_{1}-\lambda x_{2}-2 x_{3}=-1 \\ x_{1}-x_{2}+\lambda x_{3}=2 \\ 5 x_{1}-5 x_{2}-4 x_{3}=\lambda\end{array}\right.$ 有唯一解，则 $\lambda$ 满足什么条件？

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一、题目

当 $t$ 满足什么条件时，可以保证二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ $=$ $2 x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}+2 t x_{2} x_{3}$ 是正定的？

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一、题目

已知 $\boldsymbol{A}$ 为二阶方阵, $\boldsymbol{B}$ 为三阶方阵，且 $|\boldsymbol{A}|=|\boldsymbol{B}|=2$, 则 $\left|\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A}^{*} \\ -2 \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O}\end{array}\right|=?$

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一、题目

已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,2,3,1)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}=(3,4,7,-1)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}=(2,6, a, 6)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{4}=(0,1,3, a)^{\mathrm{\top}}$, 那么 $a=8$ 是 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性相关的充要条件吗？

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一、题目

已知矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵 $\boldsymbol{A}^{*}=\left[\begin{array}{cccc}4 & -2 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1\end{array}\right]$, 则 $\boldsymbol{A}=?$

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