$\textcolor{orange}{r(\boldsymbol{A})}$ $=$ $\textcolor{white}{n}$
当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时，有一个重要的等价无穷小：
$$
\textcolor{orange}{e^{x} – 1 \sim x}
$$
但是，有时候我们可能会将该等价无穷小错记成下面这种形式：
$$
\textcolor{gray}{1 – e^{x} \sim x}
$$
在数学中，通过寻找不同的公式之间的相同点或者差异点，可以让我们对公式的记忆与理解更加深入，例如：
$$
1 + \tan^{2} \alpha = \textcolor{orange}{\frac{1}{\cos ^{2} \alpha}}
$$
$$
(\tan \alpha)^{\prime} = \textcolor{orange}{\frac{1}{\cos ^{2} \alpha}}
$$
即：
$$
1 + \tan^{2} \alpha \textcolor{red}{=} (\tan \alpha)^{\prime}
$$
已知函数 $u$ $=$ $u(x)$, $v$ $=$ $v(x)$, 则针对 $(u v)^{\prime}$ 的求导计算公式如下：
$$
(u v)^{\prime} = u^{\prime} v + u v^{\prime}
$$
但是，由于一些原因，有时候我们可能会无法确定 $(u v)^{\prime}$ 到底是等于 $u^{\prime} v$ $\textcolor{orange}{+}$ $u v^{\prime}$ 还是等于 $u^{\prime} v$ $\textcolor{red}{-}$ $u v^{\prime}$
继续阅读“用一个小技巧牢记求导公式 $(u v)^{\prime}$ $=$ $u^{\prime} v$ $+$ $u v^{\prime}$”
$$
\Bigg[ \int_{x}^{y} f(x+y – t) \mathrm{d} t \Bigg]^{\prime}_{x} = ?
$$
$$
\Bigg[ \int_{x}^{y} f(x+y – t) \mathrm{d} t \Bigg]^{\prime}_{y} = ?
$$
继续阅读“变限积分被积函数中同时含有积分上下限该求导？”补充资料：
[1]. 多种形式的变限积分求导方法总结.
已知 $a$ 为常数，计算如下定积分：
$$
\int \frac{1}{a^{2} + x^{2}} \mathrm{d} x
$$
已知，当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时：
$$
(1+x)^{a} – 1 \sim ax
$$
其中，非齐次项 $f(t)$ $=$ $f(t)$ $=$ $d^{t}$ $\cdot$ $P_{m}(t)$, 其中，$d$ 为非零常数，$P_{m}(t)$ $=$ $b_{0}$ $+$ $b_{1}$ $t$ $+$ $\cdots$ $+$ $b_{m}$ $t^{m}$
且：$a$ $+$ $d$ $\neq$ $0$.
则，试取特解的形式 $y_{t}^{*}$ $=$ $?$
$y_{t}^{*}$ $=$ $t$ $\cdot$ $d^{t}$ $\cdot$ $Q_{m}(t)$
其中，$Q_{m}(t)$ $=$ $B_{0}$ $+$ $B_{1}$ $t$ $+$ $\cdots$ $+$ $B_{m}$ $t^{m}$, 其中 $B_{0}$, $B_{1}$, $\cdots$, $B_{m}$ 为待定常数.
其中，非齐次项 $f(t)$ $=$ $f(t)$ $=$ $d^{t}$ $\cdot$ $P_{m}(t)$, 其中，$d$ 为非零常数，$P_{m}(t)$ $=$ $b_{0}$ $+$ $b_{1}$ $t$ $+$ $\cdots$ $+$ $b_{m}$ $t^{m}$
且：$a$ $+$ $d$ $\neq$ $0$.
则，试取特解的形式 $y_{t}^{*}$ $=$ $?$
$y_{t}^{*}$ $=$ $d^{t}$ $\cdot$ $Q_{m}(t)$
其中，$Q_{m}(t)$ $=$ $B_{0}$ $+$ $B_{1}$ $t$ $+$ $\cdots$ $+$ $B_{m}$ $t^{m}$, 其中 $B_{0}$, $B_{1}$, $\cdots$, $B_{m}$ 为待定常数.
其中，非齐次项 $f(t)$ $=$ $P_{m}(t)$ $=$ $b_{0}$ $+$ $b_{1}$ $t$ $+$ $\cdots$ $+$ $b_{m}$ $t^{m}$
且：$a$ $=$ $-1$.
则，试取特解的形式 $y_{t}^{*}$ $=$ $?$
$y_{t}^{*}$ $=$ $t$ $Q_{m}(t)$
其中，$Q_{m}(t)$ $=$ $B_{0}$ $+$ $B_{1}$ $t$ $+$ $\cdots$ $+$ $B_{m}$ $t^{m}$, 其中 $B_{0}$, $B_{1}$, $\cdots$, $B_{m}$ 为待定常数.
其中，非齐次项 $f(t)$ $=$ $P_{m}(t)$ $=$ $b_{0}$ $+$ $b_{1}$ $t$ $+$ $\cdots$ $+$ $b_{m}$ $t^{m}$
且：$a$ $\neq$ $-1$.
则，试取特解的形式 $y_{t}^{*}$ $=$ $?$
$y_{t}^{*}$ $=$ $Q_{m}(t)$ $=$ $B_{0}$ $+$ $B_{1}$ $t$ $+$ $\cdots$ $+$ $B_{m}$ $t^{m}$, 其中 $B_{0}$, $B_{1}$, $\cdots$, $B_{m}$ 为待定常数.
$y_{C}(t)$ $=$ $C$ $\cdot$ $(-a)^{t}$
