微分方程 $y^{\prime \prime}$ $+$ $4 y$ $=$ $\cos 2x$ 的通解是（ ）
难度评级：
graph TB A(判断方程类型) --> B(二阶非齐次) --> C(确定右端项的类型) --> D(求出特征值) D --> E(设出非齐次特解的形式) D --> F(设出齐次通解的形式) E --> G(确定能确定的系数) G --> H(非齐通=齐通+非齐特) F --> H继续阅读“微分方程 $y^{\prime \prime}$ $+$ $4 y$ $=$ $\cos 2x$ 的通解是多少？”
求三阶微分方程 $y^{\prime \prime \prime}$ $+$ $y^{\prime \prime}$ $-$ $y^{\prime}$ $-$ $y$ $=$ $0$ 满足指定初值 $y(0)$ $=$ $4$, $y^{\prime}(0)$ $=$ $4$, $y^{\prime \prime}(0)$ $=$ $0$ 的特解 $y^{*}$.
难度评级：
graph TB A(判断方程类型) --> B(三阶常系数齐次) --> C(求出特征值) --> D(根据公式确定通解的形式) --> E(代入条件求出待定常数) --> F(写出特解)继续阅读“求三阶微分方程 $y^{\prime \prime \prime}$ $+$ $y^{\prime \prime}$ $-$ $y^{\prime}$ $-$ $y$ $=$ $0$ 满足指定初值的特解 $y^{*}$”
求微分方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ $=$ $\frac{2xy – y^{2}}{x^{2} – 2xy}$ 满足 $y(1)$ $=$ $-2$ 的特解。
难度评级：
graph TB A(判断方程类型) --> B(一阶齐次) --> C(构造出 y/x) --> D(代入条件求出待定常数) --> E(写出特解)继续阅读“求微分方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ $=$ $\frac{2xy – y^{2}}{x^{2} – 2xy}$ 满足指定条件的特解”
已知函数 $f(x)$ 具有连续的一阶导数, 且满足 $f(x)$ $=$ $\int_{0}^{x}$ $\left(x^{2} – t^{2} \right)$ $f^{\prime}(t)$ $\mathrm{d} t$ $+$ $x^{2}$, 求 $f(x)$ 的表达式。
难度评级：
继续阅读“变限积分+微分方程：已知 $f(x)$ $=$ $\int_{0}^{x}$ $\left( x^{2} – t^{2} \right)$ $f^{\prime}(t)$ $\mathrm{d} t$ $+$ $x^{2}$ 求 $f(x)$”方程 $y^{\prime \prime}$ $+$ $y$ $=$ $\mathrm{e}^x$ $+$ $1$ $+$ $\sin x$ 的特解形式为（ ）
难度评级：
继续阅读“微分方程的解具有可加性”
本文详细阐述了用待定系数法求解非齐次线性方程特解时特解的假设方法，并通过一些例子强化了对这些方法的掌握。
本文篇幅稍长，初次接触这部分内容的同学一定要放慢阅读脚步，理清思路哦 （￣︶￣）↗
方程 $y^{\prime \prime}$ $-$ $2 y^{\prime}$ $=$ $x \mathrm{e}^{2 x}$ 特解的形式是（ ）
难度评级：
本题所用到的知识可以参考：《用待定系数法求解非齐次线性方程特解时特解的假设方法》
继续阅读“求解方程 $y^{\prime \prime}$ $-$ $2 y^{\prime}$ $=$ $x \mathrm{e}^{2 x}$ 特解的形式”具有特解 $y_{1}$ $=$ $\mathrm{e}^{-x}$, $y_{2}$ $=$ $2 x$ $\mathrm{e}^{-x}$, $y_{3}$ $=$ $3 \mathrm{e}^x$ 的三阶常系数线性齐次方程为（ ）
继续阅读“求解具有特解 $y_{1}$ $=$ $\mathrm{e}^{-x}$, $y_{2}$ $=$ $2 x$ $\mathrm{e}^{-x}$, $y_{3}$ $=$ $3 \mathrm{e}^x$ 的三阶常系数线性齐次方程”$$
\int \frac{1+x}{1+x^{3}} \mathrm{d} x = ?
$$
$$
\int \frac{1-x}{1+x^{3}} \mathrm{d} x = ?
$$
这两个式子只相差了一个加减符号，但是计算得出的结果却有很大不同，因此，在求解数学题的时候，一定不能想当然的以为就该有什么样的结果——得出的任何结论都要建立在有效的定理和严格的推理之上。
难度评级：
继续阅读“差之毫厘，谬以千里：$\int$ $\frac{1+x}{1+x^{3}}$ $\mathrm{d} x$ 和 $\int$ $\frac{1-x}{1+x^{3}}$ $\mathrm{d} x$”在本文中，荒原之梦网将通过若干例子，详细说明用于分解类似 $Ax^{2}$ $+$ $Bx$ $+$ $C$ $=$ $0$ 这样的二次函数式的“十字相乘法”。
继续阅读“用“十字相乘法”对二次函数进行分解降幂”本文使用了一种基于近似的“拟合法”完成对二次函数的分解降幂，相比于“十字相乘法”，拟合法在处理一些系数较小的，以及一些无法写成因式相乘形式的二次函数时更合适。
继续阅读“用“拟合法”对二次函数进行分解降幂”在本文中，荒原之梦网将阐述一种用于求解由三角函数 $\sin$ 与 $\cos$ 通过有理运算组成的有理式积分的一般思路，还将通过几道例题做进一步的说明和验证。
继续阅读“三角函数 $\sin$ 与 $\cos$ 有理式积分的一般解题思路”$$
\int \frac{\cos^{2} x \sin x}{\sin^{2} x} \mathrm{d} x = ？
$$
难度评级：
继续阅读“巧用三角函数凑微分，化不同为相同：$\int$ $\frac{\cos^{2} x \sin x}{\sin^{2} x}$ $\mathrm{d} x$”