分类： 高等数学

一、题目

$$
I = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{(1-x) (1-\sqrt{x}) \cdots (1- \sqrt[n]{x})}{ (1-x)^{n} } = ?
$$

难度评级：

继续阅读“当分子中包含无穷多个因式的时候，该怎么计算极限？”

一、题目

$$
I = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\arctan x – \tan x}{\sin x – \sin(\sin x)} = ?
$$

难度评级：

继续阅读“利用等价无穷小在分子或者分母中对元素做整体替换”

一、题目

$$
I = \lim \limits_{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+\sin x \cos \alpha x}{1+\sin x \cos \beta x}\right)^{\cos t^{3} x} = \ ?
$$

难度评级：

继续阅读“极限乘法运算中，极限非零的因子的极限可以直接代入”

一、题目

已知 $I$ $=$ $\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{(x+1)(2 x+1)(3 x+1)(4 x+1)(5 x+1)}{(2 x-1)^{\alpha}}=\beta \neq 0$, 则：

$$
\begin{cases}
\alpha = ? \\
\beta = ?
\end{cases}
$$

难度评级：

继续阅读“在无穷大的环境中，只有次幂最高的起作用”

一、题目

已知 $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{(x+1)(2 x+1)(3 x+1)(4 x+1)(5 x+1)+a x+b}{x+x^{2}}$ $=$ $16$, 则 $a = ?$, $b = ?$

难度评级：

继续阅读“在无穷小的环境中，只有次幂最低的起作用”

一、题目

$$
I=\int \frac{\mathrm{d} x}{\sin x \cos x} = ?
$$

难度评级：

继续阅读“凑微分：一道积分题用凑微分能有多少种解法？”

一、题目

设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $f(1)=0$, 请证明 $\exists \xi \in(\mathbf{0}, \mathbf{1})$, 使 $\xi f^{\prime}(\xi)=-f(\xi)$ 成立.

难度评级：

继续阅读“应用罗尔定理的特征：闭区间连续、开区间可导、端点值相等”

一、题目

$$
I = \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{(2 x-3)^{20}(3 x+2)^{30}}{(2 x+1)^{50}+x^{48}(2 x-1)} = ?
$$

难度评级：

继续阅读“通过提取式子中的“大头”，变无穷大为无穷小”

一、前言

在被积函数中，如果我们能找到两部分式子 “$\square$” 和 “$\triangle$” 是导数和原函数的关系，例如：

$$
(\square)^{\prime} = \triangle
$$

则可凑微分为：

$$
\int \square \cdot \triangle \mathrm{~d} x = \int \square \mathrm{~d} (\square)
$$

在本文中，荒原之梦考研数学网将通过几个例题演示上面的凑微分方法。

继续阅读“凑微分的特征：被积函数中的两部分是导数和原函数的关系”

一、前言

在本文中，荒原之梦考研数学网将给出几道涉及幂函数凑微分的题目及解析——

对于这类题目，判断能否尝试凑微分的一个关键“标志性信号”就是观察被积函数中是否存在次幂相差 $1$ 的部分。

继续阅读“幂函数凑微分的标志：次幂相差 1”

一、题目

$$
I=\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{(x+a)^{x+a}(x+b)^{x+b}}{(x+a+b)^{2 x+a+b}} = ?
$$

难度评级：

继续阅读“次幂同时含有变量和常量的极限怎么计算？”

一、题目

$$
I = \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{5^{n}+2^{n}}{5^{n+1}+2^{n+1}} = ?
$$

难度评级：

继续阅读“关于幂指函数的无穷大比较的一个重要结论”