已知，函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0, 1]$ 上连续，在开区间 $(0,1)$ 内可导，且：
$$
f(1)=k \int_0^{\frac{1}{k}} x \mathrm{e}^{1-x} f(x) \mathrm{~d} x
$$
其中常数 $k>1$.
请证明存在 $\xi \in(0,1)$, 使得下式成立：
$$
f^{\prime}(\xi)=\left(1-\frac{1}{\xi}\right) \cdot f(\xi)
$$
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继续阅读“计算含有“表述环路”的式子，首先需要“打破环路””已知，函数 $f(x)$ 二阶可导，且 $f ^{\prime} (x)$ $=$ $f(n-x)$, $f(0)$ $=$ $1$, 则：
$$
f(x) = ?
$$
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继续阅读“导数等于原函数的“平移”：这样的函数一般都由三角函数构成”$$
I = \int_{0}^{ \frac{\pi}{2}} \ln ( \sin x ) \mathrm{~d} x = ?
$$
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继续阅读“明修栈道，暗度陈仓：化简对数函数先凑乘法”请求解下面式子的极限：
$$
\begin{aligned}
K_{1} & = \lim_{ x \rightarrow a } \frac{ a^{x} – x^{a}}{x-a} \\ \\
K_{2} & = \lim_{ x \rightarrow a } \frac{ x^{x} – a^{a} }{x-a} \\ \\
K_{3} & = \lim_{x \rightarrow a } \frac{\tan x – \tan a}{ x^{a} – a^{a} }
\end{aligned}
$$
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继续阅读“利用导数的定义求解式子的极限”已知 $y(x)$ $=$ $\sin^{3} x$ $+$ $\sin x \cos x$, 则：
$$
y^{(n)} = ?
$$
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继续阅读“求三角函数的 $n$ 阶导：先降幂”
三角函数的二倍角公式（$\sin 2x$, $\cos 2x$, $\tan 2x$, $\cot 2x$）很常用，三角函数的三倍角公式在求解一些题目的时候，也是一个非常有用的工具。在本文中，「荒原之梦考研数学」将给同学们整理出一份常用的三角函数三倍角公式。
继续阅读“三角函数的三倍角公式”请证明下面这个数列 $\left\{ x_{n} \right\}$ 的极限存在，并求解其极限：
$$
\sqrt{2}, \quad \sqrt{2+\sqrt{2}}, \quad \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}, \quad \cdots
$$
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继续阅读“平方运算不会改变大于或等于 $0$ 的数字间的大小关系”$$
I = \int_{2}^{+ \infty} \frac{1}{x \sqrt{x-1}} \mathrm{~d} x = ?
$$
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继续阅读“对式子的等价转换除了有先加后减，还有先开方再平方”求下面函数的 $n$ 阶导数：
$$
\begin{aligned}
y_{1} & = \sin x \\
y_{2} & = \cos x \\
y_{3} & = \frac{1}{x + 1} \\
y_{4} & = \frac{-1}{x}
\end{aligned}
$$
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继续阅读“用归纳法求函数的 $n$ 阶导数（附 $\sin$ 与 $\cos$ 的 $n$ 阶导公式）”已知 $f(x,y,z)$ $=$ $\left( \frac{x}{y} \right)^{\frac{1}{z}}$, 则：
$$
\mathrm{d} f(1,1,1) = ?
$$
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继续阅读“三元函数全微分的计算：比二元多一元”已知函数 $u$ $=$ $f \left( x + y , x y , \frac { x } { y } \right)$, 求 $\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2} }$, $\frac { \partial^{2} u }{ \partial x \partial y }$, $\frac{ \partial^{2} u }{\partial y^{2}}$.
其中，$f$ 具有二阶连续偏导数。
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继续阅读“二阶偏导数求导对比：两个变量的三元函数和三个变量的二元函数”$$
\begin{aligned}
I_{1} = & \ \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x+2}{x + 1} \right)^{2x + \textcolor{orangered}{2}} = ? \\ \\
I_{2} = & \ \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x+2}{x+1} \right)^{2x + \textcolor{orangered}{1}} = ?
\end{aligned}
$$
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继续阅读“在无穷大条件下，幂指函数的“幂”增减一个常数不会影响最终的结果”
