分类： 高等数学

题目

设 $z=\frac{y}{x}f(xy)$, 其中函数 $f$ 可微，则 $\frac{x}{y}\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}=?$

$$A.2y{f}^{‘}(xy)$$

$$B.-2y{f}^{‘}(xy)$$

$$C.\frac{2}{x}f(xy)$$

$$D.-\frac{2}{x}f(xy)$$

继续阅读“2013年考研数二第05题解析”

题目

设函数 $f(x)=\{\begin{array}{c}\frac{1}{(x-1{)}^{a-1}},1<x<e,\\ \frac{1}{x{\ln }^{a+1}x},x⩾e.\end{array}$ 若反常积分 ${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}f(x)dx$ 收敛，则 $?$

$$A.a<-2$$

$$B.a>2$$

$$C.-2<a<0$$

$$D.0<a<2$$

解析

本题可以参照常见反常积分敛散性的公式计算出来。

常见反常积分敛散性的公式如图 1 所示：

由于分段函数本质上仍然是【一个函数】，因此，如果分段函数对应的反常积分收敛，那么这个分段函数在【反常区间】内每一段函数对应的【积分】都要收敛，即：

$${\int }_1^e\frac{1}{(x-1{)}^{a-1}}dx\Rightarrow \mathrm{收}\mathrm{敛};$$

$${\int }_e^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{x{\ln }^{a+1}x}dx\Rightarrow \mathrm{收}\mathrm{敛}.$$

结合前面的公式，于是有：

$$a-1<1;$$

$$a+1>1.$$

于是：

$$0<a<2.$$

综上可知，正确选项为 $D$.

EOF

题目

设函数 $f(x)=\{\begin{array}{c}\sin x,0⩽x<\pi ,\\ 2,\pi ⩽x⩽2\pi ,\end{array}$ $F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$, 则 $?$

$$A.x=\pi \mathrm{是}\mathrm{函}\mathrm{数}F(x)\mathrm{的}\mathrm{跳}\mathrm{跃}\mathrm{间}\mathrm{断}\mathrm{点}$$

$$B.x=\pi \mathrm{是}\mathrm{函}\mathrm{数}F(x)\mathrm{的}\mathrm{可}\mathrm{去}\mathrm{间}\mathrm{断}\mathrm{点}$$

$$C.F(x)\mathrm{在}x=\pi \mathrm{处}\mathrm{连}\mathrm{续}\mathrm{但}\mathrm{不}\mathrm{可}\mathrm{导}$$

$$D.F(x)\mathrm{在}x=\pi \mathrm{处}\mathrm{可}\mathrm{导}$$

继续阅读“2013年考研数二第03题解析”

题目

设函数 $y=f(x)$ 是由方程 $\cos (xy)+\ln y–x=1$ 确定，则 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}[f(\frac{2}{n})–1]=?$

$$A.2$$

$$B.1$$

$$C.-1$$

$$D.-2$$

继续阅读“2013年考研数二第02题解析”

题目

设 $\cos x–1=x\sin a(x)$, 其中，$|a(x)|<\frac{\pi }{2}$, 则当 $x\to 0$ 时，$a(x)$ 是 $?$

$$A.\mathrm{比}x\mathrm{高}\mathrm{阶}\mathrm{的}\mathrm{无}\mathrm{穷}\mathrm{小}$$

$$B.\mathrm{比}x\mathrm{低}\mathrm{阶}\mathrm{的}\mathrm{无}\mathrm{穷}\mathrm{小}$$

$$C.\mathrm{与}x\mathrm{同}\mathrm{阶}\mathrm{但}\mathrm{不}\mathrm{等}\mathrm{价}\mathrm{的}\mathrm{无}\mathrm{穷}\mathrm{小}$$

$$D.\mathrm{与}x\mathrm{等}\mathrm{价}\mathrm{的}\mathrm{无}\mathrm{穷}\mathrm{小}$$

继续阅读“2013年考研数二第01题解析”

题目

一根长为 $1$ 的细棒位于 $x$ 轴的区间 $[0,1]$ 上，若其线密度 $\rho (x)=–x^2+2x+1$, 则该细棒的质心坐标 $\overline{x}=?$

继续阅读“2014年考研数二第13题解析”

题目

曲线 $L$ 的极坐标方程是 $r=\theta$, 则 $L$ 在点 $(r,\theta )=(\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ 处切线的直角坐标系方程为 $?$

继续阅读“2014年考研数二第12题解析”

题目

设 $z=f(x,y)$ 是由 $e^{2yz}+x+y^2+z=\frac{7}{4}$ 确定的函数，则 $dz{|}_{(\frac{1}{2},\frac{1}{2})}=?$

继续阅读“2014年考研数二第11题解析”

题目

设 $f(x)$ 是周期为 $4$ 的可导奇函数，且 $f^{‘}(x)=2(x-1)$, $x\in [0,2]$, 则 $f(7)=?$

继续阅读“2014年考研数二第10题解析”

题目

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^1\frac{dx}{x^2+2x+5}=?$$

继续阅读“2014年考研数二第09题解析”

题目

设函数 $u(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，在 $D$ 内二阶连续可导，且满足 $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}\ne 0$, $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=0$, 则 $?$

$$A.u(x,y)\mathrm{的}\mathrm{最}\mathrm{大}\mathrm{值}\mathrm{和}\mathrm{最}\mathrm{小}\mathrm{值}\mathrm{都}\mathrm{在}D\mathrm{的}\mathrm{边}\mathrm{界}\mathrm{上}\mathrm{取}\mathrm{得}$$

$$B.u(x,y)\mathrm{的}\mathrm{最}\mathrm{大}\mathrm{值}\mathrm{和}\mathrm{最}\mathrm{小}\mathrm{值}\mathrm{都}\mathrm{在}D\mathrm{的}\mathrm{内}\mathrm{部}\mathrm{取}\mathrm{得}$$

$$C.u(x,y)\mathrm{的}\mathrm{最}\mathrm{大}\mathrm{值}\mathrm{在}D\mathrm{的}\mathrm{内}\mathrm{部}\mathrm{取}\mathrm{得}，\mathrm{最}\mathrm{小}\mathrm{值}\mathrm{在}D\mathrm{的}\mathrm{边}\mathrm{界}\mathrm{上}\mathrm{取}\mathrm{得}$$

$$D.u(x,y)\mathrm{的}\mathrm{最}\mathrm{小}\mathrm{值}\mathrm{在}D\mathrm{的}\mathrm{内}\mathrm{部}\mathrm{取}\mathrm{得}，\mathrm{最}\mathrm{大}\mathrm{值}\mathrm{在}D\mathrm{的}\mathrm{边}\mathrm{界}\mathrm{上}\mathrm{取}\mathrm{得}$$

继续阅读“2014年考研数二第06题解析”

题目

设函数 $f(x)=\arctan x$, 若 $f(x)=x{f}^{‘}(\xi )$, 则 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{{\xi }^2}{x^2}=?$

$$A.1$$

$$B.\frac{2}{3}$$

$$C.\frac{1}{2}$$

$$D.\frac{1}{3}$$

继续阅读“2014年考研数二第05题解析”

题目

曲线 $\{\begin{array}{c}x=t^2+7,\\ y=t^2+4t+1\end{array}$ 上对应于 $t=1$ 处的曲率半径为 $?$

$$A.\frac{\sqrt{10}}{50}$$

$$B.\frac{\sqrt{10}}{100}$$

$$C.10\sqrt{10}$$

$$D.5\sqrt{10}$$

继续阅读“2014年考研数二第04题解析”