2019 年研究生入学考试数学二试卷中的题目与解析。
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2019年考研数二第08题解析
题目
设 $A$ 是 $3$ 阶实对称矩阵，$E$ 是 $3$ 阶单位矩阵，若 $A^{2} + A = 2E$, 且 $|A|=4$, 则二次型 $A^{T}AX$ 的规范型为 $?$
$\textcolor{Orange}{[A]}$ $y_{1}^{2}$ $+$ $y_{2}^{2}$ $+$ $y_{3}^{2}$
$\textcolor{Orange}{[B]}$ $y_{1}^{2}$ $+$ $y_{2}^{2}$ $-$ $y_{3}^{2}$
$\textcolor{Orange}{[C]}$ $y_{1}^{2}$ $-$ $y_{2}^{2}$ $-$ $y_{3}^{2}$
$\textcolor{Orange}{[D]}$ $-$ $y_{1}^{2}$ $-$ $y_{2}^{2}$ $-$ $y_{3}^{2}$
2019年考研数二第07题解析
题目
设 $A$ 是 $4$ 阶矩阵，$A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵，若线性方程组 $AX=0$ 的基础解系中有 $2$ 个向量，则 $r(A^{*}) = ?$
$\textcolor{Orange}{[A]}$ $0$
$\textcolor{Orange}{[B]}$ $1$
$\textcolor{Orange}{[C]}$ $2$
$\textcolor{Orange}{[D]}$ $3$
[线代]矩阵的秩与其伴随矩阵的秩之间的关系
注意：以下讨论的矩阵 $A$ 与 $A^{*}$ 都是方阵。
$n$ 阶矩阵 $A$ 的秩与其伴随矩阵 $A^{*}$ 的秩之间的关系如下：
①
如果 $A$ 满秩，即 $r(A)=n$, 则 $A^{*}$ 也满秩，即 $r(A^{*})=n$;
②
如果 $r(A)=n-1$, 则 $r(A^{*})=1$;
③
如果 $r(A) < n-1$, 则 $r(A^{*})=0$.
也就是说，随着原矩阵秩的减小，其伴随矩阵的秩会出现“断崖式”的快速下降。
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2019年考研数二第14题解析
题目
已知矩阵 $ A= \begin{bmatrix} 1& -1& 0& 0\\ -2& 1& -1& 1\\ 3& -2& 2& -1\\ 0& 0& 3& 4 \end{bmatrix}$ ,$A_{ij} $ 表示$|A|$中$(i,j)$元的代数余子式，则$A_{11}-A_{12}=?$
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2020 年研究生入学考试数学一第 5 题解析
题目
若矩阵 $A$ 经初等列变换化成 $B$, 则 ( )
A. 存在矩阵 $P$, 使得 $PA=B$
B. 存在矩阵 $P$, 使得 $BP=A$
C. 存在矩阵 $P$, 使得 $PB=A$
D. 方程组 $Ax=0$ 与 $Bx=0$ 同解
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题目
行列式 $\begin{vmatrix} 0& a& b& 0\\ a& 0& 0& b\\ 0& c& d& 0\\ c& 0& 0& d \end{vmatrix}=$ ( )
$$( A ) (ad-bc)^{2}$$
$$( B ) -(ad-bc)^{2}$$
$$( C ) a^{2}d^{2}-b^{2}c^{2}$$
$$( D ) b^{2}c^{2}-a^{2}d^{2}$$