一、前言 
本文给出了求解形如下面这样的二阶常系数线性齐次微分方程通解的方法：
$$
y^{\prime \prime} + p y^{\prime} + q y = 0
$$
其中，$p$ 和 $q$ 为常数。
继续阅读“求解二阶常系数线性齐次微分方程通解的方法”分类： 线性代数
线性表示的部分与整体的关系（C019）
问题
若 $\boldsymbol{\beta}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{m}$ 中的部分向量线性表示，则以下说法中正确的是哪个？选项
[A]. $\boldsymbol{\beta}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{m}$ 线性表示[B]. $\boldsymbol{\beta}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{m}$ 中的另一部分线性表示
[C]. $\boldsymbol{\beta}$ 或许可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{m}$ 线性表示
[D]. $\boldsymbol{\beta}$ 不可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{m}$ 线性表示
$\boldsymbol{\beta}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{m}$ 整体线性表示
线性相关与线性无关边缘处性质的推论（C019）
问题
已知，$n$ 个 $n$ 维向量 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{n}$ 线性无关，则以下关于则任一 $n$ 维向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 与向量组 $($ $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{n}$ $)$ 之间关系的说法中，正确的是哪个？选项
[A]. 任一 $n$ 维向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 不一定可由 $($ $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{n}$ $)$ 线性表示[B]. 任一 $n$ 维向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 均不可由 $($ $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{n}$ $)$ 线性表示
[C]. 任一 $n$ 维向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 均可由 $($ $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{n}$ $)$ 线性表示，但表示法不唯一
[D]. 任一 $n$ 维向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 均可由 $($ $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{n}$ $)$ 线性表示，且表示法唯一
任一 $n$ 维向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 均可由 $($ $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{n}$ $)$ 线性表示，且表示法唯一
线性相关与线性无关边缘处的性质（C019）
问题
已知向量组 $($ $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{\boldsymbol{r}}$ $)$ 线性无关, 而向量组 $($ $\boldsymbol{\beta}$, $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{\boldsymbol{r}}$ $)$ 线性相关，则以下关于向量 $\boldsymbol{\beta}$ 和向量组 $($ $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{\boldsymbol{r}}$ $)$ 之间关系的说法中，正确的是哪个？选项
[A]. $\boldsymbol{\beta}$ 或许可由 $($ $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{\boldsymbol{r}}$ $)$ 线性表示[B]. $\boldsymbol{\beta}$ 不可由 $($ $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{\boldsymbol{r}}$ $)$ 线性表示
[C]. $\boldsymbol{\beta}$ 可由 $($ $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{\boldsymbol{r}}$ $)$ 线性表示，但表示法不唯一
[D]. $\boldsymbol{\beta}$ 可由 $($ $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{\boldsymbol{r}}$ $)$ 线性表示，且表示法唯一
$\boldsymbol{\beta}$ 可由 $($ $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{\boldsymbol{r}}$ $)$ 线性表示，且表示法唯一
向量可由向量组线性表示的充要条件：所形成的矩阵的秩（C019）
问题
以下哪个选项可以说明向量 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\beta}}$ 和向量组 $\textcolor{yellow}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}$, $\textcolor{yellow}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}$, $\textcolor{yellow}{\cdots}$, $\textcolor{yellow}{\boldsymbol{\alpha}_{m}}$ 线 性 相 关 ？选项
[A]. $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m} \right)$ $\leqslant$ $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m}, \boldsymbol{\beta}\right)$[B]. $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m} \right)$ $\neq$ $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m}, \boldsymbol{\beta}\right)$
[C]. $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m} \right)$ $=$ $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m}, \boldsymbol{\beta}\right)$
[D]. $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m} \right)$ $\geqslant$ $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m}, \boldsymbol{\beta}\right)$
$\mathrm{\textcolor{red}{r}}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m} \right)$ $=$ $\mathrm{\textcolor{red}{r}}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m}, \boldsymbol{\textcolor{red}{\beta}}\right)$
向量可由向量组线性表示的充要条件：非齐次线性方程组的解（C019）
问题
如果非齐次线性方程组 $\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m}\right)\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_m\end{array}\right)$ $=$ $\boldsymbol{\beta}$ 无 解 ，是否可以说明向量 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\beta}}$ 能 由 向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{m}$ 线 性 表 示 ？选项
[A]. 不能[B]. 不确定
[C]. 能
不 能
向量 $\textcolor{orange}{\textcolor{orange}{\boldsymbol{\beta}}}$ 能 由 向量组 $\textcolor{yellow}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}$, $\textcolor{yellow}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}$, $\textcolor{yellow}{\cdots}$, $\textcolor{yellow}{\boldsymbol{\alpha}_{m}}$ 线 性 表 示
$\textcolor{red}{\Leftrightarrow}$
非齐次线性方程组 $\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m}\right)\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_m\end{array}\right)$ $=$ $\boldsymbol{\beta}$ 有 解
向量可由向量组线性表示的充要条件：系数的存在性（C019）
问题
如果 不 存 在 常数 $\textcolor{cyan}{k_{1}}$, $\textcolor{cyan}{k_{2}}$, $\textcolor{cyan}{\cdots}$, $\textcolor{cyan}{k_{m}}$, 使得 $\textcolor{cyan}{k_{1}} \boldsymbol{\alpha}_{1}$ $+$ $\textcolor{cyan}{k_{2}} \boldsymbol{\alpha}_{2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\textcolor{cyan}{k_{m}} \boldsymbol{\alpha}_{m}$ $=$ $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\beta}}$ 成立，是否可以说明向量 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\beta}}$ 能 由 向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{m}$ 线 性 表 示 ？选项
[A]. 能[B]. 不能
[C]. 不确定
不 能
向量 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\beta}}$ 能 由 向量组 $\textcolor{yellow}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}$, $\textcolor{yellow}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}$, $\textcolor{yellow}{\cdots}$, $\textcolor{yellow}{\boldsymbol{\alpha}_{m}}$ 线 性 表 示
$\textcolor{red}{\Leftrightarrow}$
存 在 常数 $\textcolor{cyan}{k_{1}}$, $\textcolor{cyan}{k_{2}}$, $\textcolor{cyan}{\cdots}$, $\textcolor{cyan}{k_{m}}$, 使得 $\textcolor{cyan}{k_{1}} \textcolor{yellow}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}$ $+$ $\textcolor{cyan}{k_{2}} \textcolor{yellow}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\textcolor{cyan}{k_{m}} \textcolor{yellow}{\boldsymbol{\alpha}_{m}}$ $=$ $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\beta}}$ 成 立
线性相关的向量组的秩（C019）
问题
若向量组 $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}$, $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}$, $\textcolor{cyan}{\cdots}$, $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{m}}$ 线 性 相 关 ，则以下关于 $\textcolor{orange}{\mathrm{r}}\left(\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}, \textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}, \textcolor{cyan}{\cdots}, \textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{m}} \right)$ 的说法中，正确的是哪个？选项
[A]. $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m} \right)$ $\geqslant$ $m$[B]. $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m} \right)$ $\leqslant$ $m$
[C]. $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m} \right)$ $=$ $m$
[D]. $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m} \right)$ $<$ $m$
向量组 $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}$, $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}$, $\textcolor{cyan}{\cdots}$, $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{m}}$ 线 性 相 关
$\textcolor{yellow}{\Leftrightarrow}$
$\textcolor{orange}{\mathrm{r}}\left(\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}, \textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}, \textcolor{cyan}{\cdots}, \textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{m}} \right)$ $<$ $\textcolor{red}{m}$
线性无关的向量组的秩（C019）
问题
若向量组 $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}$, $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}$, $\textcolor{cyan}{\cdots}$, $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{m}}$ 线 性 无 关 ，则以下关于 $\textcolor{orange}{\mathrm{r}}\left(\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}, \textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}, \textcolor{cyan}{\cdots}, \textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{m}} \right)$ 的说法中，正确的是哪个？选项
[A]. $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m} \right)$ $\leqslant$ $m$[B]. $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m} \right)$ $<$ $m$
[C]. $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m} \right)$ $=$ $m$
[D]. $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m} \right)$ $\geqslant$ $m$
向量组 $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}$, $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}$, $\textcolor{cyan}{\cdots}$, $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{m}}$ 线 性 无 关
$\textcolor{yellow}{\Leftrightarrow}$
$\textcolor{orange}{\mathrm{r}}\left(\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}, \textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}, \textcolor{cyan}{\cdots}, \textcolor{cyan}{\boldsymbol{\alpha}_{m}} \right)$ $=$ $\textcolor{red}{m}$
向量组秩的定义（C019）
问题
根据定义，向量组的 （ ） 被称为向量组的 秩 ？选项
[A]. 向量组中向量的个数[B]. 极大无关组中所含向量的维度
[C]. 极大无关组中所含向量的个数
[D]. 向量组中非零向量的个数
向量组的 极 大 无 关 组 所含 向 量 的 个 数 称为向量组的 秩 。
什么是极大无关组？
一、前言
向量组的 极 大 无 关 组 在研究矩阵的 秩 以及线性方程组的 基 础 解 系 等方面发挥着重要的作用，在本文中，荒原之梦网（zhaokaifeng.com）将给出一个关于 什 么 是 极 大 无 关 组 的详细定义。
继续阅读“什么是极大无关组？”向量组“高维相关”的引申结论（C018）
问题
已知，向量组 $\beta_{1}$, $\beta_{2}$, $\cdots$, $\beta_{m}$ 是维度相同的列向量。如果 $\textcolor{cyan}{\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{\alpha}_{1} \\ \boldsymbol{\beta}_{1} \end{array}\right)}$, $\textcolor{cyan}{\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{\alpha}_{2} \\ \boldsymbol{\beta}_{2} \end{array}\right)}$, $\textcolor{cyan}{\cdots}$, $\textcolor{cyan}{\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{\alpha}_{m} \\ \boldsymbol{\beta}_{m} \end{array}\right)}$ 线 性 相 关 ，则对应的低维向量组 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}$, $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}$, $\textcolor{orange}{\cdots}$, $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{\boldsymbol{m}}}$ 相 关 性 如何？选项
[A]. 无法判断[B]. 线性无关
[C]. 线性相关
高 维 相 关 ，则 低 维 相 关
向量组“低维无关”的引申结论（C018）
问题
已知，向量组 $\beta_{1}$, $\beta_{2}$, $\cdots$, $\beta_{m}$ 是维度相同的列向量。如果 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}$, $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}$, $\textcolor{orange}{\cdots}$, $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{\boldsymbol{m}}}$ 线 性 无 关 ，则对应的高维向量组 $\textcolor{cyan}{\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{\alpha}_{1} \\ \boldsymbol{\beta}_{1} \end{array}\right)}$, $\textcolor{cyan}{\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{\alpha}_{2} \\ \boldsymbol{\beta}_{2} \end{array}\right)}$, $\textcolor{cyan}{\cdots}$, $\textcolor{cyan}{\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{\alpha}_{m} \\ \boldsymbol{\beta}_{m} \end{array}\right)}$ 相 关 性 如何？选项
[A]. 线性相关[B]. 线性无关
[C]. 无法判断
低 维 无 关 ，则 高 维 无 关
向量组“部分相关”的引申结论（C018）
问题
如果一个向量组 $\textcolor{orange}{\alpha_{1}}$, $\textcolor{orange}{\alpha_{2}}$, $\textcolor{orange}{\cdots}$, $\textcolor{orange}{\alpha_{m}}$ 中有 一 部 分 向量线性 相 关 ，则 整 个 向量组的线性 相 关 性 如何？选项
[A]. 无法判断[B]. 整体无关
[C]. 整体相关
部 分 相 关 ，则 整 体 相 关
向量组“整体无关”的引申结论（C018）
问题
如果一个向量组 $\textcolor{orange}{\alpha_{1}}$, $\textcolor{orange}{\alpha_{2}}$, $\textcolor{orange}{\cdots}$, $\textcolor{orange}{\alpha_{m}}$ 整 体 线性 无 关 ，则该向量组中 部 分 向量组的线性 相 关 性 如何？选项
[A]. 部分无关[B]. 无法判断
[C]. 部分相关
整 体 无 关 ，则 部 分 无 关