你会拆分这种行列式吗?

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 是三维线性无关列向量,请问:

$\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{3}+\boldsymbol{\alpha}_{1}\right| \neq 0$ 一定成立吗?

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解题的时候一定要穷尽所有可能的答案

一、题目题目 - 荒原之梦

已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & a+2 \\ 1 & a & -2\end{array}\right]$ 和 $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & a \\ -1 & a & 1 \\ 1 & -1 & 2\end{array}\right]$ 不等价,则 $a=?$

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这道题中的矩阵虽然很“宽”,但其实是一个单列矩阵

一、题目题目 - 荒原之梦

已知,矩阵 $\boldsymbol{A}$ 满足对任意 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 均有 $\boldsymbol{A}\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}+x_{3} \\ 2 x_{1}-x_{2}+x_{3} \\ x_{2}-x_{3}\end{array}\right)$. 请求解以下两个问题:
[1]. 求 $A$;

[2]. 求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 与对角矩阵 $\boldsymbol{\Lambda}$, 使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\boldsymbol{\Lambda}$.

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分块矩阵求逆法的口诀

一、前言 前言 - 荒原之梦

口诀全文(版本一):

主对角线直接逆;
副对角线交换逆;
上下三角副对角线上的不取逆;
上下三角加负号顺时针串联。

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口诀全文(版本二):

主对角线 AB 逆;
副对角线 BA 逆;
上下三角 C 不逆;
顺时针串联加负号。

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做了这道题,你对分块矩阵性质的理解很可能将会更上一层楼

一、题目题目 - 荒原之梦

已知,线性方程组 $A x=\alpha$ 有解, $\left(\begin{array}{l}A \\ B\end{array}\right) x=\left(\begin{array}{l}\alpha \\ \beta\end{array}\right)$ 无解,则下列结论中正确的是哪个?

A. $r(B, \beta)=r(B)+1$

B. $r\left(\begin{array}{ll}A & \alpha \\ B & \beta\end{array}\right)<r\left(\begin{array}{l}A \\ B\end{array}\right)+1$

C. $r\left[B^{\mathrm{\top}}(B, \beta)\right]>r\left(B^{\mathrm{\top}} B\right)$

D. $r\left[\left(A^{\mathrm{\top}}, B^{\mathrm{\top}}\right)\left(\begin{array}{ll}A & \alpha \\ B & \beta\end{array}\right)\right]=r\left[\left(A^{\mathrm{\top}}, B^{\mathrm{\top}}\right)\left(\begin{array}{l}A \\ B\end{array}\right)\right]$

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这个行列式没有什么计算规律:对于四阶的行列式计算,直接尝试降阶即可

一、题目题目 - 荒原之梦

行列式 $\left|\begin{array}{llll}a & 1 & 0 & 0 \\ b & a & 1 & 0 \\ 0 & b & a & 1 \\ 0 & 0 & b & a\end{array}\right|=?$

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求解某行元素的代数余子式之和:千万不要傻傻的直接算哦

一、题目题目 - 荒原之梦

已知,有四阶行列式 $D$ $=$ $\left|\begin{array}{cccc}1 & 0 & 4 & 0 \\ 2 & -1 & -1 & 2 \\ 0 & -6 & 0 & 0 \\ 2 & 4 & -1 & 2\end{array}\right|$, 则其第四行各元素代数余子式之和,即 $A_{41}+A_{42}+A_{43}+A_{44}=?$

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二阶矩阵?实对称?行列式不等于零?这背后隐藏着什么规律?

一、题目题目 - 荒原之梦

已知,二阶实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的一个特征向量为 $\left(\begin{array}{c}-3 \\ 1\end{array}\right)$, 且 $|\boldsymbol{A}|<0$, 则 $k\left(\begin{array}{c}-3 \\ 1\end{array}\right)$$\left(\begin{array}{l}1 \\ 3\end{array}\right)$$k_{1}\left(\begin{array}{c}-3 \\ 1\end{array}\right)+k_{2}\left(\begin{array}{l}1 \\ 3\end{array}\right)$ $(k_{1} \neq 0$ 且 $k_{2} \neq 0)$$k_{1}\left(\begin{array}{c}-3 \\ 1\end{array}\right)+k_{2}\left(\begin{array}{l}1 \\ 3\end{array}\right)$($k_{1}$ 和 $k_{2}$ 不同时为零)中,一定是 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量的是哪个或哪些?

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当系数矩阵与增广矩阵的秩相等且等于未知数的个数时:对应的非齐次线性方程组有唯一解

一、题目题目 - 荒原之梦

已知,线性方程组 $\left\{\begin{array}{c}x_{1}-\lambda x_{2}-2 x_{3}=-1 \\ x_{1}-x_{2}+\lambda x_{3}=2 \\ 5 x_{1}-5 x_{2}-4 x_{3}=\lambda\end{array}\right.$ 有唯一解,则 $\lambda$ 满足什么条件?

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正定二次型是对应的二次型矩阵的各阶顺序主子式都大于零而不是不等于零

一、题目题目 - 荒原之梦

当 $t$ 满足什么条件时,可以保证二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ $=$ $2 x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}+2 t x_{2} x_{3}$ 是正定的?

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一个向量组可由另一个向量组线性表示的充分必要条件是什么?(C019)

问题

一个向量组 $A = (\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s})$ 可由另一个向量组 $B = (\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{t})$ 线性表示(线性表出)的【充分必要条件】是什么?

选项

[A].   $r(A) > r(A,B)$

[B].   r(A) < r(A,B)

[C].   $r(A) = r(A,B)$

[D].   $r(A) \neq r(A,B)$


答 案

$r(A) = r(A,B)$

副对角线上有分块矩阵的行列式的计算公式怎么记?将一个“块”看做一个数字就可以啦

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 $\boldsymbol{A}$ 为二阶方阵, $\boldsymbol{B}$ 为三阶方阵,且 $|\boldsymbol{A}|=|\boldsymbol{B}|=2$, 则 $\left|\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A}^{*} \\ -2 \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O}\end{array}\right|=?$

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