借助二次方程求解未知矩阵

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 满足:

$$
\begin{cases}
\boldsymbol{A} = \frac{1}{3} (\boldsymbol{B} + \boldsymbol{E}) \\ \\
\boldsymbol{A} ^{2} = \boldsymbol{A}
\end{cases}
$$

则:

$$
\boldsymbol{B} = ?
$$

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利用好分块矩阵的性质,可以节省计算步骤

一、题目题目 - 荒原之梦

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范德蒙行列式“变体”行列式的计算

一、前言 前言 - 荒原之梦

我们知道,形如下面这样的行列式,被称之为“范德蒙行列式”:

$$
D _{ n } = \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\
x _{ 1 } & x _{ 2 } & x _{ 3 } & \cdots & x _{ n } \\
x _{ 1 } ^ { 2 } & x _{ 2 } ^ { 2 } & x _{ 3 } ^ { 2 } & \cdots & x _{ n } ^ { 2 } \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
x _{ 1 } ^ { n – 1 } & x _{ 2 } ^ { n – 1 } & x _{ 3 } ^ { n – 1 } & \cdots & x _{ n } ^ { n – 1 }
\end{vmatrix}
$$

上面这个行列式的计算结果为:

$$
D _{ n } = \prod _{ 1 \leqslant j < i \leqslant n } \left( x _{ i } – x _{ j } \right)
$$

但是,在大部分的考试中,特别是考研数学中,并不会直接给我们一个标准形式的范德蒙行列式,更多的是会给出一个看上去像是其他形式的行列式,需要我们经过一些转化,才能转变为范德蒙行列式的标准形式,进而使用范德蒙行列式的计算公式。

在本文中,荒原之梦考研数学将给出若干道可以转变为范德蒙行列式计算的“范德蒙变体行列式”,并分析什么情况下可以考虑将一个行列式向范德蒙行列式转换。

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矩阵乘法一般是不能交换的:除非他们相乘得单位矩阵

一、题目题目 - 荒原之梦

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矩阵起源于方程组,因此也可以借助方程组的思想解题

一、题目题目 - 荒原之梦

已知矩阵 $\boldsymbol{K}$ $=$ $\boldsymbol{A K}$ $+$ $\boldsymbol{B}$, 且:

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{A} & = \begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
– 1 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{bmatrix} \\ \\
\boldsymbol{B} & = \begin{bmatrix}
1 & – 1 \\
2 & 0 \\
3 & 1
\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$

则 $\boldsymbol{K}$ $=$ $?$

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看准题目所给条件,可以降低发生低级错误的可能性

一、题目题目 - 荒原之梦

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如何确定行列式展开计算公式中每一项的正负?

一、前言 前言 - 荒原之梦

在荒原之梦考研数学的《行列式的定义式(计算公式)该怎么理解?》这篇文章中,我们理解了如下这个行列式的计算公式中每一项的具体含义:

$$
\left|\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1⁢⁢⁢n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2⁢⁢⁢n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{m}\end{matrix}\right| =
\textcolor{yellow}{\sum _{j_{1} j_{2} \cdots j_{n}}} \textcolor{springgreen}{\left(−1\right)^{\tau \left(j_{1}j_{2} \cdots j_{n}\right)}} \textcolor{pink}{a_{1j_{1}}a_{2j_{2}} \cdots a_{n}}
$$

这个计算公式是一个标准的计算公式,因为其中表示行列式行数的 “$a_{1}$, $a_{2}$, $\cdots$, $a_{n}$” 是顺序排列的,那么,如果组成行列式展开式中的项的元素不是顺序排列相乘的,该怎么确定这个项的正负呢?

在本文中,荒原之梦考研数学就带大家一探究竟。

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行列式的定义式(计算公式)该怎么理解?

一、前言 前言 - 荒原之梦

我们知道,$n$ 阶行列式的定义公式如下,同时,下面的公式也是计算 $n$ 阶行列式的通用公式:

$$
\left|\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1⁢⁢⁢n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2⁢⁢⁢n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{m} \end{matrix}\right| =
\textcolor{yellow}{\sum _{j_{1} j_{2} \cdots j_{n}}} \textcolor{springgreen}{\left(−1\right)^{\tau \left(j_{1}j_{2} \cdots j_{n}\right)}} \textcolor{pink}{a_{1j_{1}}a_{2j_{2}} \cdots a_{n}}
$$

那么,如何理解上面这个公式呢?

在本文中,荒原之梦考研数学将通过一点点的拆解剖析和例题,为同学们讲明白这个知识点。

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用“俄罗斯方块”理解两矩阵相乘得零矩阵所蕴含的规律

一、前言 前言 - 荒原之梦

如果已知 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$, 以及 $n$ 阶零矩阵 $\boldsymbol{O}$, 且下式成立:

$$
\boldsymbol{AB} = \boldsymbol{O}
$$

那么,我们能判断出来有关矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的哪些性质呢?

在本文中,荒原之梦考研数学将借助类似“俄罗斯方块”游戏中的元素,为同学们解释清楚这个问题。

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当行列式中非零元素的个数小于行数或列数的时候,该行列式一定等于零

一、题目题目 - 荒原之梦

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2023年考研数二第22题解析:根据矩阵乘法凑出隐含的矩阵、矩阵的特征值和特征向量

一、题目题目 - 荒原之梦

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矩阵乘法不能随便“拆”:一拆就可能“变味”了

一、题目题目 - 荒原之梦

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