高等数学归档 - 第9页共122页 - 荒原之梦

沿墙面滑动的梯子的水平速度与垂直速度的关系式

一、前言

如图所示，一个长度为 $L$ 的梯子斜放在墙面上并开始按照图中箭头所示的方向滑动，在时刻 $t$ , 该梯子下端的水平滑动速度为 $v_{t}$ , 垂直滑动速度为 $v_{y}$ , 请求出 $v_{t}$ 与 $v_{y}$ 满足的关系等式。

沿墙面滑动的梯子的水平速度与垂直速度的关系式 | 荒原之梦考研数学 — 图 01.

这个无穷小到底有多小？

一、题目

荒原之梦考研数学

当 $x \to 0$ 的时候，判断下面这个无穷小式子的无穷小阶数：

$\tan (\sin x) - \sin (\tan x)$

难度评级：

长除法（多项式除法）的降幂和升幂两种计算方式简述

一、前言

长除法这种计算方式在计算两个多项式相除时非常有用，而且，长除法有“ 降幂 ”和“ 升幂 ”两种计算方式。

在本文中，荒原之梦考研数学将给同学讲明白下面这三个主要问题：

在长除法中，什么是“ 降幂 ”？什么是“ 升幂 ”？
怎么做降幂长除法？怎么做升幂长除法？
什么时候用降幂长除法？什么时候用升幂长除法？

分子越复杂越好算，分母越复杂越难算：在分母中构造分式，可以将分母中的内容往分子中转移

一、题目

荒原之梦考研数学

$I = \int \frac{d x}{1 + \sin x + \cos x} = ?$

难度评级：

公式：已知 tan 的值，求 sin 和 cos 的值

一、前言

已知 $\tan \frac{x}{2}$ $=$ $t$ , 则：

$\sin x = ?$

$\cos x = ?$

$\tan x = ?$

一张图搞定三角函数的正负性

一、前言

在本文中，荒原之梦考研数学将通过下面这张图让大家能更轻松的掌握常见的三角函数 $\sin$ , $\cos$ , $\tan$ 的正负性：

一张图搞定三角函数的正负性 | 荒原之梦考研数学

怎么判断要寻找逆矩阵呢？

一、题目

已知 $A$ , $B$ 和 $C$ 均为 $n$ 阶矩阵， $E$ 为 $n$ 阶单位矩阵，若 $B$ $=$ $E$ $+$ $A B$ , $C$ $=$ $A$ $+$ $C A$ , 则：

$B - C = ?$

(A) $- E$

(B) $E$

(C) $A$

(D) $- A$

难度评级：

对于抽象矩阵逆矩阵的求解，一定要想方设法引入“矩阵乘法”

一、题目

荒原之梦考研数学

已知 $A$ , $B$ , $A$ $+$ $B$ , $A^{- 1}$ $+$ $B^{- 1}$ 均为 $n$ 阶可逆矩阵，则下面的逆矩阵等于多少：

${(A^{- 1} + B^{- 1})}^{- 1}$

(A) $A^{- 1}$ $+$ $B^{- 1}$

(B) $A (A$ $+$ $B)^{- 1} B$

(C) $A$ $+$ $B$

(D) $(A + B)^{- 1}$

难度评级：

由于积分上限不一定大于积分下限，所以变限积分也要考虑正负性

一、题目

荒原之梦考研数学

已知，函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 在区间 $(- \infty, + \infty)$ 上都是可导函数，且 $f (x)$ $<$ $g (x)$ , 则下面说法一定正确的是哪个？

(A) $f (- x)$ $>$ $g (- x)$

(B) $f^{'} (x)$ $<$ $g^{'} (x)$

(C) $\int_{0}^{x} f (t) d t$ $<$ $\int_{0}^{x} g (t) d t$

(D) $lim_{x \to x_{0}} f (x)$ $<$ $lim_{x \to x_{0}} g (x)$

难度评级：

对复杂的反常积分敛散性的判别，可以适当的画一个思路图

一、题目

荒原之梦考研数学

如果要使积分 $I$ $=$ $\int_{0}^{+ \infty} \frac{\ln (1 + x)}{x^{p}}$ $d x$ 收敛，则 $p$ 需要满足以下哪个条件？

(A). $1$ $<$ $p$ $<$ $2$

(C). $p$ $⩽$ $0$

(B). $1$ $⩽$ $p$ $⩽ 2$

(D). $p$ $<$ $- 1$

难度评级：

扩展的无穷限和无界函数的反常积分审敛法

一、前言

在本文中，荒原之梦考研数学将给出扩展的无穷限的反常积分比阶审敛法和扩展的无界函数的反常积分比阶审敛法。

趋于“零”就要考虑趋于“零负”和趋于“零正”两种情况

一、题目

荒原之梦考研数学

下面式子的极限存在吗？如果极限存在，则极限等于多少？

$I = lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{1 - \cos (a x)}}$

其中， $0$ $<$ $| a |$ $<$ $π$

难度评级：

趋于“无穷大”就要考虑趋于“负无穷大”和趋于“正无穷大”两种情况

一、题目

荒原之梦考研数学

$I = lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt[3]{2 x^{3} + 3}}{\sqrt{3 x^{2} - 2}} = ?$

难度评级：

构造函数的另一种思路：把两个未知中的其中一个看作函数自变量

一、题目

荒原之梦考研数学

已知 $b$ $>$ $a$ $>$ $0$ , 请证明：

$\frac{\ln b - \ln a}{b - a} > \frac{2 a}{a^{2} + b^{2}}$

难度评级：

一个常用不等式的不常见证明：1/b > 2a/(a^2 + b^2)

一、题目

荒原之梦考研数学

已知 $a$ $<$ $b$ , 请证明：

$\frac{1}{b} > \frac{2 a}{a^{2} + b^{2}}$

难度评级：