荒原之梦 – 第 7 页

Two roads diverged in a yellow wood,
（在一片金黄的树林里，路分成了两条）

And sorry I could not travel both
（可惜我无法同时走两条路）

And be one traveler, long I stood
And looked down one as far as I could
To where it bent in the undergrowth.
（我站在那儿，久久地望着一条路蜿蜒而去，直到它消失在灌木丛中）

Then took the other, as just as fair,
（然后，我踏上了另一条，看起来也不差）

And having perhaps the better claim,
（甚至可能更好一些）

Because it was grassy and wanted wear;
（因为它长满青草，似乎更少人走过）

Though as for that the passing there
Had worn them really about the same.
（不过其实，两条路走过的痕迹也差不多）

And both that morning equally lay
In leaves no step had trodden black.
（那天清晨，两条路都铺满了落叶，还没有人踩黑过任何一步）

Oh, I kept the first for another day!
（哦，我以后再走第一条吧）

Yet knowing how way leads on to way,
I doubted if I should ever come back.
（但我也知道，人生总是接连不断地选择再选择，一旦走上一条路，就很难回头了）

I shall be telling this with a sigh
Somewhere ages and ages hence:
（多年以后，在某个遥远的地方，当我回忆起这一刻，我会轻叹一声）

Two roads diverged in a wood, and I,
I took the one less traveled by,
（树林中分出两条路，而我——选择了那条更少人走的路）

And that has made all the difference.
（于是，一切都变得不一样了）

谨以此文，与各位共勉！

2025 年 07 月 27 日撰写
2025 年 10 月 08 日修订

取对数的好处：将底数上的变量移动到指数上

一、前言

有些时候，当式子的底数和指数都含有变量的时候，就会难以直接进行求导运算. 此时，我们就可以先对原式取对数. 在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过例题为同学们讲解对数的这一使用方式.

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为什么不能在加减法中做局部的变量替换？因为等价无穷小是基于乘除法定义的

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将从下面这个式子出发，为同学们讲解清楚，为什么我们不能对该式子分子中的 “$\ln (1 + \tan x)$” 做局部的等价无穷小替换：

$$
I = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x-\ln(1+\tan x)}{x^2} = ?
$$

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由两道题得出的有关自然对数 $\ln$ 的两个二级结论

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过两道题目，总结出以下两个有关自然对数 $\ln$ 的二级结论：

$$
\begin{aligned}
& \lim_{x \rightarrow 0^{+}} x \ln x = 0; \\ \\
& \lim_{x \rightarrow 0^{+}} x^{a} \ln x = 0, \quad (a > 0).
\end{aligned}
$$

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求一个变量的偏导数的时候，其他所有“同级变量”都可以看作常数

一、题目

已知，函数 $u$ $=$ $(x^{2} + y^{2})z^{2} + \sin x^{2}$，求 $\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}$ 及 $\frac{\partial u}{\partial z}$.

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扩展数列或者级数的原则：一次是特例，两次成规律

一、前言

如果我们有一个数列如下：

$$
\{ x_{n} \} = \{ 1, 2, 3, \cdots, n \}
$$

那么，我们可以很容易地知道，数列 $\{ x_{n+1} \}$ 为：

$$
\{ x_{n+1} \} = \{ 1, 2, 3, \cdots, n, n+1 \}
$$

类似地，如果我们有一个级数如下：

$$
x_{n} = 1 + 2 + 3 + \cdots + n
$$

那么，我们可以很容易地知道，级数 $x_{n+1}$ 为：

$$
x_{n+1} = 1 + 2 + 3 + \cdots + n + (n + 1)
$$

现在的问题是：

如果数列 $\{ x_{n} \}$ $=$ $\{ 1, \ \frac{1}{2}, \ \cdots, \ \frac{1}{n} – \mathrm{e}^{n} \}$, 则数列 $\{ x_{n+1} \} = ?$
如果级数 $x_{n}$ $=$ $1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} – \mathrm{e}^{n}$, 则级数 $x_{n+1} = ?$

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