作者： 荒原之梦

一、定理

如果级数 $\sum a_{n}$ 条件收敛，那么，构成其的正项级数 $\sum a_{n}^{+}$ 和负项级数 $\sum a_{n}^{-}$ 都发散.

一、前言

在研究级数的条件收敛和绝对收敛等问题的时候，我们常常需要对级数的正项和负项分别做考虑. 那么，怎么将一个级数的正项和负项表示出来呢？级数的正项和负项和原来的级数之间又具有什么样的关系呢？在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们做一个详细的讲解.

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过两道题目给同学们展示一下如何将“求和”转为“积分”，内容涵盖考研数学中常考的一重求和转一重积分，以及二重求和转二重积分.

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将使用反证法证明“收敛级数和发散级数相加所得的级数一定发散”这一结论.

一、前言

如果我们有两个收敛级数（绝对收敛或者条件收敛），那么，他们相加所得的级数会具有什么性质呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」就通过分类讨论的方式给同学们讲解清楚这一问题.

一、前言

我们知道，数字的加法是满足交换律与结合律的，事实上，向量的加法也满足交换律与结合律.

但是，由于向量比数字更加复杂一些，所以，我们可能难以直接感受到向量所具有的满足交换律与结合律的性质.

所以，在本文中，「荒原之梦考研数学」就通过图示的方式，以及原创的基于圆形的证明，让同学们对向量的交换律与结合律有一个直观的理解.

一、前言

要讨论收敛是绝对收敛还是条件收敛，我们首先要明确的是：谁收敛？

在考研数学中，可能具有收敛属性的主要概念为：级数、反常积分、数列和函数.

在本文中，我们将围绕这一问题，做一个清晰的分类探讨.

一、前言

数列和级数是一个常常出现在一起的概念，在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们详细讲解数列与级数的区别和联系.

一、题目

设常数 $k > 0$, 则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{k+n}{n^{2}} = ?$

一、前言

在「荒原之梦考研数学」的文章《借助向量工具研究数列加减运算之后的敛散性》中，我们基于向量的视角研究了数列相加或者相减前后所表现出来的敛散性，并总结出了数列相加减的三角形定理和平行四边形定理.

在本文中，「荒原之梦考研数学」将基于上面的研究基础，继续借助向量语言，研究数列隔项合并之后的敛散性.

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将借助“向量”这一工具，研究不同敛散性的两个数列相加或者相减之后所得数列的敛散性. 通过本文中基于向量对这一问题所进行的研究可以非常直观的看到加减运算对数列敛散性所产生的影响，并且可以根据三角形和平行四边形的几何特性对这些结论进行进一步的凝练总结.

一、题目

$$
\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{\sqrt{4x^{2} + x – 1} + x + 1}{\sqrt{x^{2} + \sin x}} = ?
$$

一、题目

已知 $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin 6x + x f(x)}{x^{3}} = 0$, 则 $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{6 + f(x)}{x^{2}} = ?$