作者： 荒原之梦

一、前言

当矩阵的乘法和转置运算结合的时候，有如下运算律：

$$(\mathit{A}\mathit{B}{)}^{\mathrm{\top }}={\mathit{B}}^{\mathrm{\top }}{\mathit{A}}^{\mathrm{\top }}$$

从上面这条定理出发，我们可以验证任意多个矩阵相乘时的转置运算律。例如，若令矩阵 $\mathit{B}$ $=$ $\mathit{C}\mathit{D}$, 则：

$$\begin{array}{rl}& (\mathit{A}\mathit{B}{)}^{\mathrm{\top }}={\mathit{B}}^{\mathrm{\top }}{\mathit{A}}^{\mathrm{\top }}\\ \Rightarrow & [\mathit{A}(\mathit{C}\mathit{D}){]}^{\mathrm{\top }}=(\mathit{C}\mathit{D}{)}^{\mathrm{\top }}{\mathit{A}}^{\mathrm{\top }}\\ \Rightarrow & [\mathit{A}\mathit{C}\mathit{D}{]}^{\mathrm{\top }}={\mathit{D}}^{\mathrm{\top }}{\mathit{C}}^{\mathrm{\top }}{\mathit{A}}^{\mathrm{\top }}\end{array}$$

在本文中，「荒原之梦考研数学」将使用原创的“峰式画线法”证明矩阵乘法的转置运算律。

Note

作为对比，可以发现，用传统数学方法完成的证明过程会显得较为繁琐：链接 1、链接 2.

zhaokaifeng.com

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将使用一般具体的矩阵证明下面的定理（矩阵乘法的转置运算律）：

$$(\mathit{A}\mathit{B}{)}^{\mathrm{\top }}={\mathit{B}}^{\mathrm{\top }}{\mathit{A}}^{\mathrm{\top }}$$

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将使用完全抽象的矩阵证明下面的定理（矩阵乘法的转置运算律）：

$$(\mathit{A}\mathit{B}{)}^{\mathrm{\top }}={\mathit{B}}^{\mathrm{\top }}{\mathit{A}}^{\mathrm{\top }}$$

一、前言

在矩阵的转置运算中，参与运算的矩阵必须是 $n\times n$ 阶的方阵吗？

一、题目

已知 $\mathit{A}$, $\mathit{B}$ 是三阶方阵，且满足等式 ${\mathit{A}}^2\mathit{B}$ $-$ $\mathit{A}$ $-$ $\mathit{B}$ $=$ $\mathit{E}$, 若 $\mathit{A}$ $=$ $\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 2& 0\\ -2& 0& 1\end{array}\right]$, 则：

$$\left|\begin{array}{c}\mathit{B}\end{array}\right|=?$$

难度评级：

一、前言

在「荒原之梦考研数学」的另一篇文章《矩阵/行列式 的一个优化策略》中，我们首次提出了在包含多个 $0$ 元素的矩阵/行列式中 的一个优化策略，那么，如果初始的矩阵/行列式中没有 $0$ 元素，或者只有少量的 $0$ 元素该怎么办呢？

在本文中，我们将以矩阵/行列式的主对角线为基准，通过元素复杂度梯度排列的方式，给同学们提供一种适用性更广泛的矩阵/行列式化简的方法。