作者： 荒原之梦

一、题目

⟨A⟩» $A_n$ $<$ $K+\frac{1}{n}$

⟨B⟩» $A_n$ $>$ $K–\frac{1}{n}$

⟨C⟩» $\left|A_n\right|$ $>$ $\frac{|K|}{2}$

⟨D⟩» $\left|A_n\right|$ $<$ $\frac{|K|}{2}$

难度评级：

二、解析

“无穷小”和“有限小”

无 穷 小 量不可数，例如，当 $x\to \mathrm{\infty }$ 的时候，$\frac{1}{x}$, $\frac{2}{x}$, $\frac{9999999}{x}$ 都是无穷小量，我们也可以将无穷小理解为“无限小”；

有 限 小 量可数，例如，无论是 $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{100}$, 还是 $\frac{1}{9999999}$, 虽然在某些程度上都是很小的数字，但他们都是可数的，都是一个确定的量。

加上或者减去一个 无 穷 小 量不会对原有的数值产生影响：

$$\text{ 1 }+\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x}=1+0=1$$

加上或者减去一个 有 限 小 量会对原有的数值产生影响：

$$\text{ 1 }+\frac{1}{9999999}=\frac{9999999+1}{9999999}=\frac{10000000}{9999999}\ne 1$$

有了上面的知识之后，求解本题就很容易了。

⟨A⟩ & ⟨B⟩

首先可以看到，无论是让 $K$ 加上 $\frac{1}{n}$ 还是减去 $\frac{1}{n}$, 当 $n$ 充分大时，也就是当 $n\to \mathrm{\infty }$ 时，都有：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}=0$$

也就是说，当 $n\to \mathrm{\infty }$ 时：

$$K+\frac{1}{n}=K–\frac{1}{n}=K$$

又由题目已知条件 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{A}_n$ $=$ $K$ 可知：

$$\begin{array}{rl}{A}_n& =K+\frac{1}{n}\mathit{✓}\\ \\ A_n& =K–\frac{1}{n}\mathit{✓}\end{array}$$

综上可知，C 选 项 正 确 。

⟨C⟩ & ⟨D⟩

虽然我们不知道 $K$ 是一个正数还是一个负数，但是，由题目已知条件 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{A}_n$ $=$ $K$ $\ne$ $0$ 可知：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}|A_n|=|K|>0\end{array}$$

且：

$$\frac{|K|}{2}>0$$

由于当 $n$ 足够大时，也就是 $n\to \mathrm{\infty }$ 时，上面的 $(1)$ 式一定成立，并且 $\frac{|K|}{2}$ 是一个可数的数值，所以下式一定成立：

$$|K|>\frac{|K|}{2}$$

即：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}|A_n|>\frac{|K|}{2}$$

综上可知，C 选 项 正 确 。

---