作者： 荒原之梦

一、前言

一般情况下，我们判断方程实数根的存在性或者函数实数解的存在性（也就是函数图像与 $X$ 轴是否存在交点，以及交点的个数）通常使用的方法是求导法，也就是通过求导判断函数的单调性，再利用函数的极值，判断函数图像与 $X$ 轴是否存在交点。

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过原创的“峰式”变限积分法，来判断方程实数根（或函数实数解）的存在性，为同学们在求解该类型题目时提供另一种解题思路。

一、题目

下面的极限中，结论正确的是哪个？

»A« $\underset{x\to 0}{lim}{(1+\frac{1}{x})}^x$ $=$ $\mathrm{e}$

»B« $\underset{x\to 0^{+}}{lim}{(1+\frac{1}{x})}^x$ $=$ $1$

»C« $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{x})}^{-x}$ $=$ $\mathrm{e}$

»D« $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left(1–\frac{1}{x}\right)}^x$ $=$ $-\mathrm{e}$

难度评级：

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过两种方法证明下面的对数次方公式（也称“对数指係公式”）：

$${\log }_{{\alpha }^n}{x}^m=\frac{m}{n}{\log }_{\alpha }x$$

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将给出下面这个对数换底公式（也称“对数基变换公式”）的详细证明：

$${\log }_{y}x=\frac{{\log }_{\beta }x}{{\log }_{\beta }y}$$

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过完善的逻辑推理，分别证明以下两个对数的“和”与“差”公式：

$$\begin{array}{rl}{\log }_{\alpha }MN& ={\log }_{\alpha }M+{\log }_{\alpha }N\\ {\log }_{\alpha }\frac{M}{N}& ={\log }_{\alpha }M–{\log }_{\alpha }N\end{array}$$