荒原之梦 – 第 15 页

一、前言

在「荒原之梦考研数学」的文章《取大头：分子或分母中的加减法所连接的部分可以使用“取大头”算法》中，我们主要讨论了当 $x \rightarrow +\infty$, 且 $x^{n}$ 中的 $n$ 为正整数的时候，极限式子“取大头去小头”的定理，在本文中，我们将对极限式子的“取大头去小头”的定理进行扩展，助力同学们提升解题速度。

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峰说峰语：人生其实不需要那么多的“意义”

人生的意义向来都难以琢磨和衡量。诸如“什么是有意义的人生？”，以及“谁的人生更有意义？”，本身就纠缠在人性的伦理之中，难以抽脱。

所以，人生无需时时处处去寻找意义，要允许自己享受“无意义”的时间，做一些“无意义”的事情，也许就在某一次“无意义”的回眸中，我们便参透了人生的意义——

这意义，可能是一盏为你而亮的灯；可能是陌生的脸庞上熟悉的微笑；也可能是无尽的荒芜中一抹新鲜的嫩绿，以及它所代表着的，脆弱又坚强的希望。

一、题目

$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{(k+1)!} = ?
$$

难度评级：

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峰说峰语：优秀就是一种“容错能力”

一辆车，如果只能在平坦的公路与和煦的春风中行驶，显然是不优秀的。为什么呢？因为它的“容错宽度”太窄。

所以，优秀，就是要具备足够的容错能力，也就是能在多种有利或不利情况下，保持原有实力稳定发挥的能力。

峰图 | 判断方程实数根（或函数实数解）存在性的另一种方法：“峰式”变限积分法

什么是“峰图”：
峰图（Feng Graph）指的是，由「荒原之梦」（zhaokaifeng.com）原创的一种基于抽象图形的数学定理可视化定义、解释、推导与应用的方法. 「荒原之梦」认为，和自然语言一样，数学的本质原理并不局限于特定的表达形式. 所以，如果说传统上的数学是基于数字（包括各种符号）进行描述的数字数学，那么，峰图就是要建立（现在是局部建立）基于图形的，数字数学的几何形态“克隆体”，并力求使数学原理的表述和数学问题的解答变得更加简单、直观且易于理解.

一、前言

一般情况下，我们判断方程实数根的存在性或者函数实数解的存在性（也就是函数图像与 $X$ 轴是否存在交点，以及交点的个数）通常使用的方法是求导法，也就是通过求导判断函数的单调性，再利用函数的极值，判断函数图像与 $X$ 轴是否存在交点。

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过原创的“峰式”变限积分法，来判断方程实数根（或函数实数解）的存在性，为同学们在求解该类型题目时提供另一种解题思路。

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峰说峰语：尘埃成就历史

钟鼓琴瑟激荡起历史的尘埃，时而化作滚滚狼烟，时而变成波涛万顷，时而浅吟低唱，在时光中缓缓飘扬，时而金光如炬，描摹着真理的纹样——

然而，音乐并不存在与琴弦之上，而是建立于尘埃之中，若没有被激发的尘埃，任何乐曲也不能呈现出分毫的恢弘。

一个一个的小人物构筑起了我们的世界，在市井的街头巷尾，在山村的田间地头，在一处处，一幕幕没有被冠以名称，也没有被赋予意义的空间和时间里，才是世界真实的模样。

一、题目

下面的极限中，结论正确的是哪个？

»A« $\lim_{ x \rightarrow 0 } \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{x}$ $=$ $\mathrm{e}$

»B« $\lim_{ x \rightarrow 0^{+} } \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{x}$ $=$ $1$

»C« $\lim_{ x \rightarrow \infty } \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{-x}$ $=$ $\mathrm{e}$

»D« $\lim_{ x \rightarrow \infty } \left( 1 – \frac{1}{x} \right)^{x}$ $=$ $-\mathrm{e}$

难度评级：

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峰说峰语：时光从来不会治愈伤痛，只是凝固了泪水

时光留下的伤痛或许是永恒的，随着时间的流失，被凝固的泪水并不会消失——

而是被不断地深埋，如同一个胆小的孩童，将自己藏进时光的涟漪——

再透过时隐时现的缝隙，小心地观察着世界的光亮——

面对那些五彩纷呈、欢心跳跃的泡沫，却始终无法伸出手去触摸——

不是因为害怕寒冷，而是害怕遇到渴望的温暖。

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过两种方法证明下面的对数次方公式（也称“对数指係公式”）：

$$
\log_{\alpha^{n}} x^{m} = \frac{m}{n} \log_{\alpha} x
$$

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峰说峰语：坚强的人就是顶天立地的人

生活并不简单，直面生活的苦难，在阴暗与潮湿中不放弃对阳光的追求，需要莫大的自我勇气。

生活中的人可能很柔弱，一个人的肩膀其实承担不了多大的重量，一滴泪水就可能压垮整个世界。

生活中的人也可以很坚强，只要目光锚定了希望的远方，风雨就会带来彩虹，泥泞就会成为沃土。

每个人都是孤独的征战者，征服属于自己的“九九八十一难”，绘就属于自己的壮阔篇章。

彼时彼刻，我们的肉体可能已经消亡，但我们的精神却可以耸立成笔直的大树，立地并顶天。

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将给出下面这个对数换底公式（也称“对数基变换公式”）的详细证明：

$$
\textcolor{pink}{ \log_{y} x } = \frac{\log_{\beta} x}{\log_{\beta} y}
$$

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峰说峰语：把该做的事做到极致

一棵树，就是要长大成材，枝繁叶茂，它不需要艳丽的花朵，也不要精致的身段；

人也是一样，人的生活态度同样类似。

花哨，通常意味着无用，只有用质朴和专注将事情做到极致，才能发挥出最大的作用。

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将使用传统方法和“峰式”画图的方法证明概率论中下面这个公式：

$$
\sum_{i=1}^{n} (\xi_{i} – \bar{\xi}) = \sum_{i=1}^{n} \xi_{i} – n \bar{\xi} = 0
$$

其中，$\bar{\xi}$ 为样本 $\left( \xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3} \cdots, \xi_{n} \right)$ 的均值。

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峰说峰语：“概率”统治下的世界，是偶然中的必然，也是必然中的偶然

图 01. 浸入三维空间中的克莱因瓶

“概率”是用于构建宇宙的一个神奇工具，相比于各种物理和数学定理，“概率”是如此直接，又如此飘忽不定。

每一个人的生老病死既是偶然，又是必然——

在微观上，发生了就是 100%, 没有发生就是 0%, 一切看上去就是某种“必然”。

在宏观上，发生与否却存在时时在变化，永远也不能确定的“概率值”，既不是 100%, 也不是 0%, 一切又都笼罩在“偶然”的薄雾之中。

然而，当我们进一步将目光放大到整个宇宙，却发现，宇宙中存在几乎完美的常数，各种规律之间存在几乎无缝衔接的互动，“偶然”似乎再次消失。

所以，必然嵌套着偶然，偶然嵌套着必然，宏大的宇宙与微小的内核似乎都是克莱因瓶上的两点，是开始，亦是结束。

一、前言

在另一篇文章中，「荒原之梦考研数学」通过图解的方式证明了全概率公式，在本文中，「荒原之梦考研数学」将使用传统的证明方法实现对全概率公式的证明：

$$
\begin{aligned}
P \left( A \right) & = \sum_{i=1}^{n} P \left( B_{i} \right) P \left( A \mid B_{i} \right) \\ \\
P \left( B \right) & = \sum_{i=1}^{n} P \left( A_{i} \right) P \left( B \mid A_{i} \right)
\end{aligned}
$$

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