作者： 荒原之梦

一、前言

当矩阵的乘法和转置运算结合的时候，有如下运算律：

$$
\textcolor{yellow}{
(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\top} = \boldsymbol{B}^{\top} \boldsymbol{A}^{\top}
}
$$

从上面这条定理出发，我们可以验证任意多个矩阵相乘时的转置运算律。例如，若令矩阵 $\boldsymbol{B}$ $=$ $\boldsymbol{C} \boldsymbol{D}$, 则：

$$
\begin{aligned}
& \ (\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\top} = \boldsymbol{B}^{\top} \boldsymbol{A}^{\top} \\
\Rightarrow & \ [\boldsymbol{A} (\boldsymbol{C} \boldsymbol{D})]^{\top} = (\boldsymbol{C} \boldsymbol{D})^{\top} \boldsymbol{A}^{\top} \\
\Rightarrow & \ [\boldsymbol{A} \boldsymbol{C} \boldsymbol{D}]^{\top} = \boldsymbol{D}^{\top} \boldsymbol{C}^{\top} \boldsymbol{A}^{\top} \\
\end{aligned}
$$

在本文中，「荒原之梦考研数学」将使用原创的“峰式画线法”证明矩阵乘法的转置运算律。

Note

作为对比，可以发现，用传统数学方法完成的证明过程会显得较为繁琐：链接 1、链接 2.

zhaokaifeng.com

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将使用一般具体的矩阵证明下面的定理（矩阵乘法的转置运算律）：

$$
\textcolor{springgreen}{
(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\top} = \boldsymbol{B}^{\top} \boldsymbol{A}^{\top}
}
$$

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将使用完全抽象的矩阵证明下面的定理（矩阵乘法的转置运算律）：

$$
\textcolor{springgreen}{
(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\top} = \boldsymbol{B}^{\top} \boldsymbol{A}^{\top}
}
$$

一、前言

在矩阵的转置运算中，参与运算的矩阵必须是 $n \times n$ 阶的方阵吗？

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}$, $\boldsymbol{B}$ 是三阶方阵，且满足等式 $\boldsymbol{A}^{2} \boldsymbol{B}$ $-$ $\boldsymbol{A}$ $-$ $\boldsymbol{B}$ $=$ $\boldsymbol{E}$, 若 $\boldsymbol{A}$ $=$ $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \end{bmatrix}$, 则：

$$
\begin{vmatrix}
\boldsymbol{B}
\end{vmatrix} = ?
$$

难度评级：

一、前言

在「荒原之梦考研数学」的另一篇文章《矩阵/行列式 的一个优化策略》中，我们首次提出了在包含多个 $0$ 元素的矩阵/行列式中 的一个优化策略，那么，如果初始的矩阵/行列式中没有 $0$ 元素，或者只有少量的 $0$ 元素该怎么办呢？

在本文中，我们将以矩阵/行列式的主对角线为基准，通过元素复杂度梯度排列的方式，给同学们提供一种适用性更广泛的矩阵/行列式化简的方法。