标签： 向量组线性相关与无关的引申结论

问题

已知，向量组 $\beta_{1}$, $\beta_{2}$, $\cdots$, $\beta_{m}$ 是维度相同的列向量。如果 $\textcolor{cyan}{\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{\alpha}_{1} \\ \boldsymbol{\beta}_{1} \end{array}\right)}$, $\textcolor{cyan}{\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{\alpha}_{2} \\ \boldsymbol{\beta}_{2} \end{array}\right)}$, $\textcolor{cyan}{\cdots}$, $\textcolor{cyan}{\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{\alpha}_{m} \\ \boldsymbol{\beta}_{m} \end{array}\right)}$ 线 性 相 关 ，则对应的低维向量组 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}$, $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}$, $\textcolor{orange}{\cdots}$, $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{\boldsymbol{m}}}$ 相 关 性 如何？

选项

[A].   线性相关

[B].   无法判断

[C].   线性无关

   答 案   

高 维 相 关 ，则 低 维 相 关

问题

已知，向量组 $\beta_{1}$, $\beta_{2}$, $\cdots$, $\beta_{m}$ 是维度相同的列向量。如果 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}$, $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}$, $\textcolor{orange}{\cdots}$, $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{\boldsymbol{m}}}$ 线 性 无 关 ，则对应的高维向量组 $\textcolor{cyan}{\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{\alpha}_{1} \\ \boldsymbol{\beta}_{1} \end{array}\right)}$, $\textcolor{cyan}{\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{\alpha}_{2} \\ \boldsymbol{\beta}_{2} \end{array}\right)}$, $\textcolor{cyan}{\cdots}$, $\textcolor{cyan}{\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{\alpha}_{m} \\ \boldsymbol{\beta}_{m} \end{array}\right)}$ 相 关 性 如何？

选项

[A].   线性相关

[B].   线性无关

[C].   无法判断

   答 案   

低 维 无 关 ，则 高 维 无 关

问题

如果一个向量组 $\textcolor{orange}{\alpha_{1}}$, $\textcolor{orange}{\alpha_{2}}$, $\textcolor{orange}{\cdots}$, $\textcolor{orange}{\alpha_{m}}$ 中有 一 部 分 向量线性 相 关 ，则 整 个 向量组的线性 相 关 性 如何？

选项

[A].   整体无关

[B].   整体相关

[C].   无法判断

   答 案   

部 分 相 关 ，则 整 体 相 关

问题

如果一个向量组 $\textcolor{orange}{\alpha_{1}}$, $\textcolor{orange}{\alpha_{2}}$, $\textcolor{orange}{\cdots}$, $\textcolor{orange}{\alpha_{m}}$ 整 体 线性 无 关 ，则该向量组中 部 分 向量组的线性 相 关 性 如何？

选项

[A].   部分相关

[B].   部分无关

[C].   无法判断

   答 案   

整 体 无 关 ，则 部 分 无 关