一、题目
已知函数 $f(x)$ 在 $x = 1$ 处连续，且有 $f(1) = 1$, 则 $\lim_{x \rightarrow + \infty}$ $\ln [ 2 + f(x^{\frac{1}{x}}) ]$ $=$ $?$
难度评级：
继续阅读“巧设特例，秒解题：一定要保证特例符合题意”由一个形式的极限推导另一个形式的极限：以两道典型题目为例
一、前言 
在本文中，荒原之梦网提供了两道“由一个形式的极限推导另一个形式的极限”的典型题目——
对于这类问题，我们有两种解决思路：
- 由已知式推导未知式；
- 由未知式反推已知式。
在本文中，我们将看到对上面这两种思路的应用。
继续阅读“由一个形式的极限推导另一个形式的极限：以两道典型题目为例”单调有界即收敛，设出极限求极限
一、题目
已知 $x_{0}$ $=$ $0$, 且 $x_{n}$ $=$ $\frac{1 + 2 x_{n-1}}{1 + x_{n-1}}$, 其中 $n$ $=$ $1, 2, 3, \cdots$, 则 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $x_{n}$ $=$ $?$
难度评级：
继续阅读“单调有界即收敛，设出极限求极限”三种方法解一道数列极限题
一、题目
$$
\lim_{n \rightarrow \infty} n^{2} \big( \arctan \frac{2}{n} – \arctan \frac{2}{n+1} \big) = ?
$$
难度评级：
继续阅读“三种方法解一道数列极限题”用拆分对数函数和洛必达运算求解一道极限题
一、题目
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+} } x^{a} \ln (x^{2} + x) = ?
$$
其中，$a > 0$.
难度评级：
继续阅读“用拆分对数函数和洛必达运算求解一道极限题”看到无穷大，就要想转无穷小：$\lim_{x \rightarrow + \infty}$ $x^{2}$ $($ $2^{\frac{1}{x}}$ $-$ $2^{\frac{1}{x + 1}}$ $)$
一、题目
$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} x^{2} ( 2^{\frac{1}{x}} – 2^{\frac{1}{x + 1}} ) = ?
$$
难度评级：
继续阅读“看到无穷大，就要想转无穷小：$\lim_{x \rightarrow + \infty}$ $x^{2}$ $($ $2^{\frac{1}{x}}$ $-$ $2^{\frac{1}{x + 1}}$ $)$”指数函数的增长速度远大于幂函数：$\lim_{x \rightarrow \infty}$ $($ $e^{x^{2}}$ $+$ $x^{3}$ $)^{\frac{1}{x^{2}}}$
一、题目
$$
\lim_{x \rightarrow \infty} ( e^{x^{2}} + x^{3} )^{\frac{1}{x^{2}}} = ?
$$
难度评级：
继续阅读“指数函数的增长速度远大于幂函数：$\lim_{x \rightarrow \infty}$ $($ $e^{x^{2}}$ $+$ $x^{3}$ $)^{\frac{1}{x^{2}}}$”次幂归一，消根号：$\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{(1 – \sqrt{\cos x})(1-\sqrt[3]{\cos x})}{\sin^{2} x^{2}}$
一、题目
$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{(1 – \sqrt{\cos x})(1-\sqrt[3]{\cos x})}{\sin^{2} x^{2}} = ?
$$
难度评级：
继续阅读“次幂归一，消根号：$\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{(1 – \sqrt{\cos x})(1-\sqrt[3]{\cos x})}{\sin^{2} x^{2}}$”一招解决所有 $1$ $-$ $(\cos cx)^{\frac{b}{a}}$ 类型的等价无穷小
一、前言
本文将介绍一种通用的方法，可以计算出当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时，所有 $1$ $-$ $(\cos cx)^{\frac{b}{a}}$ 类型式子的等价无穷小。
难度评级：
继续阅读“一招解决所有 $1$ $-$ $(\cos cx)^{\frac{b}{a}}$ 类型的等价无穷小”极限+变限积分：$\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{\int_{x^{2}}^{x} \frac{\sin(xt)}{t} \mathrm{d} t }{x^{2}}$
一、题目
$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\int_{x^{2}}^{x} \frac{\sin(xt)}{t} \mathrm{d} t }{x^{2}} = ?
$$
难度评级：
继续阅读“极限+变限积分：$\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{\int_{x^{2}}^{x} \frac{\sin(xt)}{t} \mathrm{d} t }{x^{2}}$”两种方法求解 $\lim_{x \rightarrow + \infty}$ $($ $\sqrt{x^{2} + x}$ $-$ $\sqrt{x^{2} – x}$ $)$
一、题目
$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \big( \sqrt{x^{2} + x} – \sqrt{x^{2} – x} \big) = ?
$$
难度评级：
继续阅读“两种方法求解 $\lim_{x \rightarrow + \infty}$ $($ $\sqrt{x^{2} + x}$ $-$ $\sqrt{x^{2} – x}$ $)$”两种方法计算：$\lim_{x \rightarrow \infty}$ $($ $\sin \frac{2}{x}$ $+$ $\cos \frac{1}{x}$ $)^{x}$
一、题目
$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \big( \sin \frac{2}{x} + \cos \frac{1}{x} \big)^{x} = ?
$$
难度评级：
继续阅读“两种方法计算：$\lim_{x \rightarrow \infty}$ $($ $\sin \frac{2}{x}$ $+$ $\cos \frac{1}{x}$ $)^{x}$”多角度思考解题思路：以一道变量代换题目为例
一、题目
已知 $f(x + \frac{1}{x})$ $=$ $x^{2}$ $+$ $\frac{1}{x^{2}}$, 求解 $\lim_{x \rightarrow 3}$ $f(x)$.
难度评级：
继续阅读“多角度思考解题思路：以一道变量代换题目为例”$y^{\prime \prime}$ $-$ $3 y^{\prime}$ $+$ $2 y$ $=$ $3x$ $-$ $2 e^{x}$ 特解的形式是多少？
一、题目
微分方程 $y^{\prime \prime}$ $-$ $3 y^{\prime}$ $+$ $2 y$ $=$ $3x$ $-$ $2 e^{x}$ 特解的形式是（ ）
难度评级：
继续阅读“$y^{\prime \prime}$ $-$ $3 y^{\prime}$ $+$ $2 y$ $=$ $3x$ $-$ $2 e^{x}$ 特解的形式是多少？”微分方程 $y^{\prime \prime}$ $+$ $4 y$ $=$ $\cos 2x$ 的通解是多少？
一、题目
微分方程 $y^{\prime \prime}$ $+$ $4 y$ $=$ $\cos 2x$ 的通解是（ ）
难度评级：
继续阅读“微分方程 $y^{\prime \prime}$ $+$ $4 y$ $=$ $\cos 2x$ 的通解是多少？”