常用不等式(06-A001)

问题

下方不等式中正确的是哪一个?

选项

[A].   $|a – b| \geqslant \big| |a| – |b| \big|$

[B].   $|a – b| < \big| |a| – |b| \big|$

[C].   $|a – b| > \big| |a| – |b| \big|$

[D].   $|a – b| \leqslant \big| |a| – |b| \big|$



显示答案

$|a – b| \geqslant \big| |a| – |b| \big|$

常用不等式(03-A001)

问题

若 $a \geqslant 0$, $b \geqslant 0$, 则:

选项

[A].   $a^{2}+b^{2} \leqslant 2ab$, $\frac{a+b}{2} \leqslant \sqrt{ab}$

[B].   $a^{2}+b^{2} \geqslant 2ab$, $\frac{a+b}{2} \geqslant \sqrt{ab}$

[C].   $a^{2}+b^{2} > 2ab$, $\frac{a+b}{2} > \sqrt{ab}$

[D].   $a^{2}+b^{2} < 2ab$, $\frac{a+b}{2} < \sqrt{ab}$



显示答案

$a^{2}+b^{2} \geqslant 2ab$, $\frac{a+b}{2} \geqslant \sqrt{ab}$

因式分解公式:$(a-b)^{3}$(05-A001)

问题

$(a-b)^{3}$ $=$ $?$

选项

[A].   $a^{2}-b^{2}-3ab^{2}+3a^{2}b$

[B].   $a^{3}-b^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}$

[C].   $a^{2}-b^{2}+2ab^{2}-2a^{2}b$

[D].   $a^{3}-b^{3}+2ab^{2}-2a^{2}b$

[E].   $a^{3}+b^{3}-3a^{2}b^{2}-3a^{2}b^{2}$

[F].   $a^{3}-b^{3}+3a^{2}b-3ab^{2}$

[G].   $a^{3}+b^{3}-3ab-3ab$



显示答案

$a^{3}-b^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}$

因式分解公式:$(a+b)^{3}$(04-A001)

问题

$(a+b)^{3}$ $=$ $?$

选项

[A].   $a^{3}+b^{3}+3ab+3ab$

[B].   $a^{2}+b^{2}+3ab^{2}+3a^{2}b$

[C].   $a^{3}+b^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}$

[D].   $a^{2}+b^{2}+2ab^{2}+2a^{2}b$

[E].   $a^{3}+b^{3}+2ab^{2}+2a^{2}b$

[F].   $a^{3}+b^{3}+3a^{2}b^{2}+3a^{2}b^{2}$

[G].   $a^{3}+b^{3}-3ab^{2}-3a^{2}b$



显示答案

$a^{3}+b^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}$

2012 年研究生入学考试数学一选择题第 5 题解析

一、题目

设 $a_{1}$ $=$ $\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ c_{1} \end{bmatrix}$, $a_{2}$ $=$ $\begin{bmatrix} 0\\ 1\\ c_{2}\end{bmatrix}$, $a_{3}$ $=$ $\begin{bmatrix} 1\\ -1\\ c_{3} \end{bmatrix}$, $a_{4}$ $=$ $\begin{bmatrix} -1\\ 1\\ c_{4}\end{bmatrix}$, 其中 $c_{1}$, $c_{2}$, $c_{3}$, $c_{4}$ 为任意常数,则下列向量组线性相关的为 ( )

( A ) $a_{1},a_{2},a_{3}.$

( B ) $a_{1},a_{2},a_{4}.$

( C ) $a_{1},a_{3},a_{4}.$

( D ) $a_{2},a_{3},a_{4}.$

二、解析

解答本题需要关于“线性相关”的知识。在向量组 $a_{1},a_{2},\dots a_{n}$ 线性相关的结论中,有这样一个结论:

$n$ 个 $n$ 维向量 $a_{1},a_{2}$, $\dots$ $a_{n}$ 线性相关 $\Leftrightarrow$ 行列式 $|a_{1},a_{2},\dots,a_{n}|=0.$

上面的结论中提到了 “$n$ 维向量”, 其实 “$n$ 维向量” 是两种向量的合称,第一种叫 “$n$ 维列向量”,即 $n$ 行 $1$ 列,形如:

$a=\begin{bmatrix}a_{1}\\ a_{2}\\ \vdots\\ a_{n}\end{bmatrix}.$
第二种叫 “$n$ 维行向量”,即 $1$ 行 $n$ 列,形如:

$b=\begin{bmatrix}b_{1},b_{2},\dots,b_{n}\end{bmatrix}.$
观察可知,题目中给出的是 $3$ 维列向量,选项中给出的向量的排布组合方式是横向的,因此组合形成的是 $3$ 行 $3$ 列的向量组,符合使用上述有关结论的条件。

此外,为了方便计算,这里还需要介绍一种计算行列式数值的简便方法,如下:
只要主对角线的两侧有任一侧有用 $0$ 填充的三角形就可以用下面的公式计算:

$\begin{bmatrix}\lambda_{1}& 0& 0\\ 0& \lambda_{2}&0\\ 0& 0& \lambda_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\lambda_{1}& \star& \star\\ 0& \lambda_{2}& \star\\ 0& 0& \lambda_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\lambda_{1}& 0& 0\\ \star& \lambda_{2}& 0 \\ \star& \star& \lambda_{3} \end{bmatrix}=\lambda_{1} \times \lambda_{2} \times \lambda_{3}.$

注:上述公式中 $\star$ 所在的区域表示该区域不是全部由 $0$ 填充。

只要副对角线的两侧有任一侧有用 0 填充的三角形就可以用下面的公式计算:

$\begin{bmatrix}0& 0& \lambda_{1}\\ 0& \lambda_{2}&0\\ \lambda_{3}& 0& 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\star& \star& \lambda_{1}\\ \star& \lambda_{2}& 0\\ \lambda_{3}& 0& 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0& 0& \lambda_{1}\\ 0& \lambda_{2}& \star \\ \lambda_{3}& \star& \star \end{bmatrix}=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} \times \lambda_{1} \times \lambda_{2} \times \lambda_{3}.$

注:上述公式中 $\star$ 所在的区域表示该区域不是全部由 $0$ 填充。

下面开始逐个选项进行计算并判断相关性。

A 项:

$\begin{vmatrix}0& 0& 1\\ 0& 1& -1\\ c_{1}& c_{2}& c_{3}\end{vmatrix}=(-1)^{\frac{3 \times 2}{2}}\times1\times1\times c_{1}=-c_{1}.$

当 $-c_{1} \neq 0$ 时,$a_{1},a_{2},a_{3}$ 的线性相关不成立。

B 项:

$\begin{vmatrix}0& 0& -1\\ 0& 1& 1\\ c_{1}& c_{2}& c_{4}\end{vmatrix}=(-1)^{\frac{3\times2}{2}}\times (-1) \times 1 \times c_{1}=c_{1}.$
当 $c_{1} \neq 0$ 时,$a_{1},a_{2},a_{4}$ 的线性相关不成立。

C 项:

$\begin{vmatrix}0& 1& -1\\ 0& -1& 1\\ c_{1}& c_{3}& c_{4}\end{vmatrix}=c_{1}-c_{1}=0, 恒成立.$

$a_{1},a_{3},a_{4}$ 的线性相关性恒成立。

D 项:

$\begin{vmatrix}0& 1& -1\\ 1& -1& 1\\ c_{2}& c_{3}& c_{4}\end{vmatrix}=c_{2}-c_{3}-c_{2}-c_{4}=-c_{3}-c_{4}.$

当 $-c_{3}-c_{4} \neq 0$ 时,$a_{2},a_{3},a_{4}$ 的线性相关不成立。

综上可知,本题的正确选项是:C

EOF

2017 年研究生入学考试数学一选择题第 7 题解析

一、题目

设 $A$, $B$ 为随机事件,若 $0$ $<$ $P(A)$ $<$ $1$, $0$ $<$ $P(B)$ $<$ $1$, 则 $P(A|B)$ $>$ $P(A|\bar{B})$ 的充分必要条件是 ( )

( A ) $P(B|A)$ $>$ $P(B|\bar{A})$.

( B ) $P(B|A)$ $<$ $P(B|\bar{A})$.

( C ) $P(\bar{B}|A)$ $>$ $P(B|\bar{A})$.

( D ) $P(\bar{B}|A)$ $<$ $p(B|\bar{A})$.

二、解析

本题中要找的是“充分必要条件”。根据充分必要条件的含义我们知道,如果事件 $A$ 和 $B$ 要满足充要条件就要有 $A$ $\rightarrow$ $B$ 且 $B$ $\rightarrow$ $A$.

但是,如果满足以下情况,也可以确定 $A$ 与 $B$ 是互相的充要条件:

设有事件 $A$, $B$, $C$, 当存在以下情况:

$A$ $\rightarrow$ $C$ 且 $C$ $\rightarrow$ $A$ 且 $B$ $\rightarrow$ $C$ 且 $C$ $\rightarrow$ $B$, 则 $A$ 与 $B$ 是互相的充要条件。

对于本题而言,直接把题目中所给的形式 $P(A|B)$ $>$ $P(A|\bar{B})$ 转换成选项中所给的形式,以及把选项中的形式转换成题目中所给的形式,可能难度比较大。这里我们可以考虑化简题目中所给的形式,之后再化简选项中所给的形式,由于化简过程中都是全程使用的等价符号,因此化简前的原式和化简后得到的形式是互为充要条件的,如果选项中的化简结果和题目中的化简结果一样,则可以说明它们之间存在互为充要条件的关系。

首先对题目中的原式进行化简,根据条件概率的公式,我们有:

$P(A|B)$ $>$ $P(A|\bar{B})$ $\Rightarrow$ $\frac{P(AB)}{P(B)}$ $>$ $\frac{P(A \bar{B})}{P(\bar{B})}$.

又因为:

$P(A \bar{B})$ $=$ $P[A(1-B)]$ $=$ $P(A-AB)$ $=$ $P(A)$ $-$ $P(AAB)$ $=$ $P(A)$ $-$ $P(AB)$.

所以有:

原式 $\Rightarrow$ $\frac{P(AB)}{P(B)}$ $>$ $\frac{P(A) – P(AB)}{1-P(B)}$ $\Rightarrow$ $P(AB)[1-P(B)]$ $>$ $P(B)[P(A)-P(AB)]$ $\Rightarrow$ $P(AB)$ $-$ $P(AB)P(B)$ $>$ $P(B)P(A)$ $-$ $P(B)P(AB)$ $\Rightarrow$ $P(AB)$ $>$ $P(A)P(B)$.

接下来,通过观察题目我们知道,$A$ 选项和 $B$ 选项的区别只是大于和小于符号,$C$ 选项和 $D$ 选项的区别也是如此。因此,我们只需要分别对 $A$ 选项和 $C$ 选项进行计算就可以确定哪个是正确选项了。

对 $A$ 选项进行化简:

$P(B|A)$ $>$ $P(B|\bar{A})$ $\Rightarrow$ $\frac{P(AB)}{P(A)}$ $>$ $\frac{P( \bar{A} B)}{P(\bar{A})}$.

又因为:

$P(\bar{A}B)$ $=$ $P[(1-A)B]$ $=$ $P(B-AB)$ $=$ $P(B)$ $-$ $P(ABB)$ $=$ $P(B)$ $-$ $P(AB)$.

所以有:

$\frac{P(AB)}{P(A)}$ $>$ $\frac{P(B) – P(AB)}{1-P(A)}$ $\Rightarrow$ $P(AB)[1-P(A)]$ $>$ $P(A)[P(B)$ $-$ $P(AB)]$ $\Rightarrow$ $P(AB)$ $-$ $P(AB)P(A)$ $>$ $P(A)P(B)$ $-$ $P(A)P(AB)$ $\Rightarrow$ $P(AB)$ $>$ $P(A)P(B)$.

由此,我们知道,$A$ 选项对,$B$ 选项错。

为了保险起见,我们可以在对 $C$ 选项做一个计算:

$P(\bar{B}|A)$ $>$ $P(B| \bar{A})$ $\Rightarrow$ $\frac{P(A \bar{B})}{P(A)}$ $>$ $\frac{P(\bar{A}B)}{P(\bar{A})}$ $\Rightarrow$ $P(A \bar{B})P(\bar{A})$ $>$ $P(\bar{A}B)P(A)$.

又因为:

$P(A \bar{B})$ $=$ $P(A)$ $-$ $P(AB)$;

$P(\bar{A} B)$ $=$ $P(B)$ $-$ $P(AB)$.

所以有:

$[P(A)$ $-$ $P(AB)][1-P(A)]$ $>$ $[P(B)$ $-$ $P(AB)]P(A)$ $\Rightarrow$ $P(A)$ $-$ $P(A)P(A)$ $-$ $P(AB)$ $+$ $P(AB)P(A)$ $>$ $P(B)P(A)$ $-$ $P(AB)P(A)$ $\nRightarrow$ $P(AB)$ $>$ $P(A)P(B)$.

因此,可以知道,选项 $C$ 和 $D$ 都不正确。

综上可知,正确选项是:$A$.

EOF

高等数学中常用的等价无穷小

当 $x\rightarrow0$ 时

(02) $ \tan x \backsim x $

(01) $ \sin x \backsim x $

(03) $ \arcsin x \backsim x $

(04) $ \arctan x \backsim x $

(05) $ \ln(1+x) \backsim x $

(06) $ e^{x} -1 \backsim x $

(07) $ 1-\cos x \backsim \frac{1}{2}x^{2} $

(08) $ x – \ln(1 + x) \backsim \frac{1}{2}x^{2} $

(09) $ \tan x – \sin x \backsim \frac{1}{2}x^{3} $

(10) $ \arcsin x – \arctan x \backsim \frac{1}{2}x^{3} $

(11) $ \tan x – x \backsim \frac{1}{3}x^{3} $

(12) $ x – \arctan x \backsim \frac{1}{3}x^{3} $

(13) $ x – \sin x \backsim \frac{1}{6}x^{3} $

(14) $ (1+x)^{a}-1 \backsim ax $

(15) $ a^{x}-1 \backsim \ln a\times x $

依次点击下方按钮,深入学习高等数学中的常用等价无穷小: