## 选项

[A].   $|a – b| \geqslant \big| |a| – |b| \big|$

[B].   $|a – b| < \big| |a| – |b| \big|$

[C].   $|a – b| > \big| |a| – |b| \big|$

[D].   $|a – b| \leqslant \big| |a| – |b| \big|$

$|a – b| \geqslant \big| |a| – |b| \big|$

## 选项

[A].   $|a − b| > |a| + |b|$

[B].   $|a − b| \geqslant |a| + |b|$

[C].   $|a − b| \leqslant |a| + |b|$

[D].   $|a − b| < |a| + |b|$

$|a − b| \leqslant |a| + |b|$

## 选项

[A].   $|a + b| > |a| + |b|$

[B].   $|a + b| \geqslant |a| + |b|$

[C].   $|a + b| \leqslant |a| + |b|$

[D].   $|a + b| < |a| + |b|$

$|a + b| \leqslant |a| + |b|$

## 选项

[A].   $a^{2}+b^{2} \leqslant 2ab$, $\frac{a+b}{2} \leqslant \sqrt{ab}$

[B].   $a^{2}+b^{2} \geqslant 2ab$, $\frac{a+b}{2} \geqslant \sqrt{ab}$

[C].   $a^{2}+b^{2} > 2ab$, $\frac{a+b}{2} > \sqrt{ab}$

[D].   $a^{2}+b^{2} < 2ab$, $\frac{a+b}{2} < \sqrt{ab}$

$a^{2}+b^{2} \geqslant 2ab$, $\frac{a+b}{2} \geqslant \sqrt{ab}$

## 选项

[A].   $\sqrt[n]{a} = \sqrt[n]{b}$

[B].   $\sqrt[n]{a} < \sqrt[n] {b}$

[C].   $\sqrt[n]{a} > \sqrt[n]{b}$

[D].   $\sqrt[n]{a} \leqslant \sqrt[n]{b}$

[E].   $\sqrt[n]{a} \geqslant \sqrt[n]{b}$

$\sqrt[n]{a} > \sqrt[n]{b}$

## 选项

[A].   $a^{n} < b^{n}$

[B].   $a^{n} > b^{n}$

[C].   $a \cdot n < b \cdot n$

[D].   $a \cdot n > b \cdot n$

$a^{n} > b^{n}$

## 问题

$(a-b)^{3}$ $=$ $?$

## 选项

[A].   $a^{2}-b^{2}-3ab^{2}+3a^{2}b$

[B].   $a^{3}-b^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}$

[C].   $a^{2}-b^{2}+2ab^{2}-2a^{2}b$

[D].   $a^{3}-b^{3}+2ab^{2}-2a^{2}b$

[E].   $a^{3}+b^{3}-3a^{2}b^{2}-3a^{2}b^{2}$

[F].   $a^{3}-b^{3}+3a^{2}b-3ab^{2}$

[G].   $a^{3}+b^{3}-3ab-3ab$

$a^{3}-b^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}$

## 问题

$(a+b)^{3}$ $=$ $?$

## 选项

[A].   $a^{3}+b^{3}+3ab+3ab$

[B].   $a^{2}+b^{2}+3ab^{2}+3a^{2}b$

[C].   $a^{3}+b^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}$

[D].   $a^{2}+b^{2}+2ab^{2}+2a^{2}b$

[E].   $a^{3}+b^{3}+2ab^{2}+2a^{2}b$

[F].   $a^{3}+b^{3}+3a^{2}b^{2}+3a^{2}b^{2}$

[G].   $a^{3}+b^{3}-3ab^{2}-3a^{2}b$

$a^{3}+b^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}$

## 一、题目

( A ) $a_{1},a_{2},a_{3}.$

( B ) $a_{1},a_{2},a_{4}.$

( C ) $a_{1},a_{3},a_{4}.$

( D ) $a_{2},a_{3},a_{4}.$

## 二、解析

$n$ 个 $n$ 维向量 $a_{1},a_{2}$, $\dots$ $a_{n}$ 线性相关 $\Leftrightarrow$ 行列式 $|a_{1},a_{2},\dots,a_{n}|=0.$

$a=\begin{bmatrix}a_{1}\\ a_{2}\\ \vdots\\ a_{n}\end{bmatrix}.$

$b=\begin{bmatrix}b_{1},b_{2},\dots,b_{n}\end{bmatrix}.$

$\begin{bmatrix}\lambda_{1}& 0& 0\\ 0& \lambda_{2}&0\\ 0& 0& \lambda_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\lambda_{1}& \star& \star\\ 0& \lambda_{2}& \star\\ 0& 0& \lambda_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\lambda_{1}& 0& 0\\ \star& \lambda_{2}& 0 \\ \star& \star& \lambda_{3} \end{bmatrix}=\lambda_{1} \times \lambda_{2} \times \lambda_{3}.$

$\begin{bmatrix}0& 0& \lambda_{1}\\ 0& \lambda_{2}&0\\ \lambda_{3}& 0& 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\star& \star& \lambda_{1}\\ \star& \lambda_{2}& 0\\ \lambda_{3}& 0& 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0& 0& \lambda_{1}\\ 0& \lambda_{2}& \star \\ \lambda_{3}& \star& \star \end{bmatrix}=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} \times \lambda_{1} \times \lambda_{2} \times \lambda_{3}.$

A 项：

$\begin{vmatrix}0& 0& 1\\ 0& 1& -1\\ c_{1}& c_{2}& c_{3}\end{vmatrix}=(-1)^{\frac{3 \times 2}{2}}\times1\times1\times c_{1}=-c_{1}.$

B 项：

$\begin{vmatrix}0& 0& -1\\ 0& 1& 1\\ c_{1}& c_{2}& c_{4}\end{vmatrix}=(-1)^{\frac{3\times2}{2}}\times (-1) \times 1 \times c_{1}=c_{1}.$

C 项：

$\begin{vmatrix}0& 1& -1\\ 0& -1& 1\\ c_{1}& c_{3}& c_{4}\end{vmatrix}=c_{1}-c_{1}=0, 恒成立.$

$a_{1},a_{3},a_{4}$ 的线性相关性恒成立。

D 项：

$\begin{vmatrix}0& 1& -1\\ 1& -1& 1\\ c_{2}& c_{3}& c_{4}\end{vmatrix}=c_{2}-c_{3}-c_{2}-c_{4}=-c_{3}-c_{4}.$

EOF

## 一、题目

( A ) $P(B|A)$ $>$ $P(B|\bar{A})$.

( B ) $P(B|A)$ $<$ $P(B|\bar{A})$.

( C ) $P(\bar{B}|A)$ $>$ $P(B|\bar{A})$.

( D ) $P(\bar{B}|A)$ $<$ $p(B|\bar{A})$.

## 二、解析

$A$ $\rightarrow$ $C$ 且 $C$ $\rightarrow$ $A$ 且 $B$ $\rightarrow$ $C$ 且 $C$ $\rightarrow$ $B$, 则 $A$ 与 $B$ 是互相的充要条件。

$P(A|B)$ $>$ $P(A|\bar{B})$ $\Rightarrow$ $\frac{P(AB)}{P(B)}$ $>$ $\frac{P(A \bar{B})}{P(\bar{B})}$.

$P(A \bar{B})$ $=$ $P[A(1-B)]$ $=$ $P(A-AB)$ $=$ $P(A)$ $-$ $P(AAB)$ $=$ $P(A)$ $-$ $P(AB)$.

$P(B|A)$ $>$ $P(B|\bar{A})$ $\Rightarrow$ $\frac{P(AB)}{P(A)}$ $>$ $\frac{P( \bar{A} B)}{P(\bar{A})}$.

$P(\bar{A}B)$ $=$ $P[(1-A)B]$ $=$ $P(B-AB)$ $=$ $P(B)$ $-$ $P(ABB)$ $=$ $P(B)$ $-$ $P(AB)$.

$\frac{P(AB)}{P(A)}$ $>$ $\frac{P(B) – P(AB)}{1-P(A)}$ $\Rightarrow$ $P(AB)[1-P(A)]$ $>$ $P(A)[P(B)$ $-$ $P(AB)]$ $\Rightarrow$ $P(AB)$ $-$ $P(AB)P(A)$ $>$ $P(A)P(B)$ $-$ $P(A)P(AB)$ $\Rightarrow$ $P(AB)$ $>$ $P(A)P(B)$.

$P(\bar{B}|A)$ $>$ $P(B| \bar{A})$ $\Rightarrow$ $\frac{P(A \bar{B})}{P(A)}$ $>$ $\frac{P(\bar{A}B)}{P(\bar{A})}$ $\Rightarrow$ $P(A \bar{B})P(\bar{A})$ $>$ $P(\bar{A}B)P(A)$.

$P(A \bar{B})$ $=$ $P(A)$ $-$ $P(AB)$;

$P(\bar{A} B)$ $=$ $P(B)$ $-$ $P(AB)$.

$[P(A)$ $-$ $P(AB)][1-P(A)]$ $>$ $[P(B)$ $-$ $P(AB)]P(A)$ $\Rightarrow$ $P(A)$ $-$ $P(A)P(A)$ $-$ $P(AB)$ $+$ $P(AB)P(A)$ $>$ $P(B)P(A)$ $-$ $P(AB)P(A)$ $\nRightarrow$ $P(AB)$ $>$ $P(A)P(B)$.

EOF

## 高等数学中常用的等价无穷小

(02) $\tan x \backsim x$

(01) $\sin x \backsim x$

(03) $\arcsin x \backsim x$

(04) $\arctan x \backsim x$

(05) $\ln(1+x) \backsim x$

(06) $e^{x} -1 \backsim x$

(07) $1-\cos x \backsim \frac{1}{2}x^{2}$

(08) $x – \ln(1 + x) \backsim \frac{1}{2}x^{2}$

(09) $\tan x – \sin x \backsim \frac{1}{2}x^{3}$

(10) $\arcsin x – \arctan x \backsim \frac{1}{2}x^{3}$

(11) $\tan x – x \backsim \frac{1}{3}x^{3}$

(12) $x – \arctan x \backsim \frac{1}{3}x^{3}$

(13) $x – \sin x \backsim \frac{1}{6}x^{3}$

(14) $(1+x)^{a}-1 \backsim ax$

(15) $a^{x}-1 \backsim \ln a\times x$