2016年考研数二第18题解析：二重积分、二重积分的化简、极坐标系下二重积分的计算

题目

编号：A2016218

设 $D$ 是由直线 $y=1$, $y=x$, $y=–x$ 围成的有界区域，计算二重积分：

$${\iint }_D\frac{x^2–xy–y^2}{x^2+y^2}.$$

解析

根据题目，我们可以画出如图 01 所示的积分区域 $D$ 的示意图：

观察可知，积分区域 $D$ 由关于坐标轴 $Y$ 轴对称的两个区域 $D_1$ 和 $D_2$ 组成。于是，根据二重积分的化简定律，可知，关于 $x$ 是奇函数的式子 $xy$ 在关于 $Y$ 轴对称的积分区域 $D$ 上的积分一定为零：

$${\iint }_{D}xy=0\Rightarrow$$

$${\iint }_D\frac{x^2–xy–y^2}{x^2+y^2}\rightrightarrows$$

$${\iint }_D\frac{x^2–y^2}{x^2+y^2}.\mathrm{②}$$

由于上面的 $\mathrm{②}$ 式涉及到了 $x^2$, $y^2$ 以及 $x^2+y^2$, 因此，我们可以尝试将 $\mathrm{②}$ 式转换成极坐标系下的二重积分进行计算。

根据已知条件，以及上面图 02 的示意可知，在极坐标系下：

$$\theta \in ({45}^{\circ },{180}^{\circ }-{45}^{\circ })\Rightarrow$$

$$\theta \in (\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4}).$$

$$\sin \theta =\frac{1}{r}\Rightarrow$$

$$r=\frac{1}{\sin \theta }\Rightarrow$$

$$r\in (0,\frac{1}{\sin \theta }).$$

又：

$$\{\begin{array}{c}x=r\cos \theta ;\\ y=r\sin \theta .\end{array}$$

于是：

$${\iint }_D\frac{x^2–y^2}{x^2+y^2}\Rightarrow$$

$${\iint }_D\frac{r^2{\cos }^2\theta –r^2{\sin }^2\theta }{r^2{\cos }^2\theta +r^2{\sin }^2\theta }r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \Rightarrow$$

$${\iint }_D\frac{r^2({\cos }^2\theta –{\sin }^2\theta )}{r^2({\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta )}r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \Rightarrow$$

$${\iint }_D\frac{({\cos }^2\theta –{\sin }^2\theta )}{({\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta )}r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \Rightarrow$$

$${\iint }_D\frac{({\cos }^2\theta –{\sin }^2\theta )}{1}r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \Rightarrow$$

$${\iint }_{D}r({\cos }^2\theta –{\sin }^2\theta )\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \Rightarrow$$

$${\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{3\pi }{4}}({\cos }^2\theta –{\sin }^2\theta )\mathrm{d}\theta {\int }_0^{\frac{1}{\sin \theta }}r\mathrm{d}r\Rightarrow$$

$${\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{3\pi }{4}}({\cos }^2\theta –{\sin }^2\theta )(\frac{1}{2}{r}^2{|}_0^{\frac{1}{\sin \theta }})\mathrm{d}\theta \Rightarrow$$

$${\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{3\pi }{4}}({\cos }^2\theta –{\sin }^2\theta )(\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{{\sin }^2\theta })\mathrm{d}\theta \Rightarrow$$

$$\frac{1}{2}{\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{3\pi }{4}}(\frac{{\cos }^2\theta –{\sin }^2\theta }{{\sin }^2\theta })\mathrm{d}\theta \Rightarrow$$

$$\frac{1}{2}{\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{3\pi }{4}}(\frac{{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta –2{\sin }^2\theta }{{\sin }^2\theta })\mathrm{d}\theta \Rightarrow$$

$$\frac{1}{2}{\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{3\pi }{4}}(\frac{1}{{\sin }^2\theta }–2)\mathrm{d}\theta \Rightarrow$$

$$\frac{1}{2}[{\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{3\pi }{4}}\frac{1}{{\sin }^2\theta }\mathrm{d}\theta –{\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{3\pi }{4}}2\mathrm{d}\theta ]\Rightarrow$$

$$\frac{1}{2}[{\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{3\pi }{4}}\frac{1}{{\sin }^2\theta }\mathrm{d}\theta –\pi ]\Rightarrow$$

$$\frac{1}{2}[{\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{3\pi }{4}}{\csc }^2\theta \mathrm{d}\theta –\pi ]\Rightarrow$$

$$\frac{1}{2}[–{\cot }^2\theta {|}_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{3\pi }{4}}–\pi ]\Rightarrow$$

注：

[1]. $(\cot \theta {)}^{‘}=$ $-{\csc }^2\theta$.

$$\frac{1}{2}[\frac{-1}{{\tan }^2\theta }{|}_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{3\pi }{4}}–\pi ]\Rightarrow$$

注：

[1]. $\tan \frac{\pi }{4}=1$;

[2]. $\tan \frac{3\pi }{4}=–1$.

$$\frac{1}{2}[-1(-1-1)–\pi ]=\frac{1}{2}[2-\pi ]=1–\frac{\pi }{2}.$$