题目
已知函数 $f(x) = \frac{1+x}{\sin x} – \frac{1}{x}$, 记 $a = \lim_{x \rightarrow 0} f(x)$.
$(Ⅰ)$ 求 $a$ 的值；
$(Ⅱ)$ 若当 $x \rightarrow 0$ 时，$f(x) – a$ 与 $x^{k}$ 是同阶无穷小量，求常熟 $k$ 的值。
解析
第 $(Ⅰ)$ 问
由于：
$$
\frac{1+x}{\sin x} – \frac{1}{x} =
$$
$$
\frac{1}{\sin x} + \frac{x}{\sin x} – \frac{1}{x}.
$$
于是：
$$
\lim_{x \rightarrow 0} (\frac{1+x}{\sin x} – \frac{1}{x}) =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0} (\frac{1}{\sin x} – \frac{1}{x}) + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{\sin x} =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0} (\frac{1}{x} – \frac{1}{x}) + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{x} =
$$
$$
0 + 1 = 1.
$$
又由于：
$$
a = \lim_{x \rightarrow 0} f(x).
$$
于是：
$$
a = 1.
$$
第 $(Ⅱ)$ 问
由第 $(Ⅰ)$ 问知：
$$
a = 1.
$$
于是：
$$
\lim_{x \rightarrow 0} f(x) – a =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0} (\frac{1+x}{\sin x} – \frac{1}{x} – 1) =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0} [\frac{x(1+x) – \sin x – x \cdot \sin x}{x \cdot \sin x}] =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0} [\frac{x + x^{2} – \sin x – x \cdot \sin x}{x \cdot \sin x}] =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0} [(\frac{x – \sin x}{x^{2}}) + \frac{x(x – \sin x)}{x^{2}}] =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0}[\frac{\frac{1}{6} x^{3} }{x^{2}} + \frac{x \cdot \frac{1}{6}x^{3}}{x^{2}}] =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0} [\frac{1}{6}x + \frac{1}{6}x^{2}] =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{6}x + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{6}x^{2} =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{6}x.
$$
注：当 $x \rightarrow 0$ 时，$x^{2}$ 远小于 $x$, 故舍去 $\frac{1}{6} x^{2}$, 只保留 $\frac{1}{6} x$ 即可。
于是，若 $f(x) – a$ 与 $x^{k}$ 是同阶无穷小量，即当 $x \rightarrow 0$ 时，$\frac{1}{6}x$ 与 $x^{k}$ 是同阶无穷小，则：
$$
k=1.
$$