[高数]几个多次利用分部积分的例题

前言

在计算极限的时候,我们有时候需要多次使用洛必达法则才可以解出答案。与之类似,在计算积分的时候,我们也可能会需要多次使用分部积分才能解出答案。本文记录了几个在一个计算过程中多次使用分部积分的例题,以作参考。

正文

例一

$$
\int e^{x} \sin x dx =
$$

$$
\int \sin x d(e^{x}) =
$$

$$
e^{x} \sin x – \int e^{x} \cos x dx =
$$

$$
e^{x} \sin x – [\int \cos x d(e^{x})] =
$$

$$
e^{x} \sin x – [e^{x} \cos x + \int e^{x} \sin x dx] =
$$

$$
e^{x} \sin x – e^{x} \cos x – \int e^{x} \sin x dx \Rightarrow
$$

$$
2 \int e^{x} \sin x dx = e^{x} \sin x – e^{x} \cos x + C \Rightarrow
$$

$$
\int e^{x} \sin x dx = \frac{1}{2} e^{x} (\sin x – \cos x) + C.
$$

注意:

在本例中,我没有将 $\int e^{x} \sin x dx$ 转化成如下形式的分部积分:

$$
(-1) \int e^{x} d(\cos x).
$$

因为,使用分部积分的方式对 $- \int e^{x} d(\cos x)$ 进行计算之后,只能得到如下这样一个无效的结果:

$$
\int e^{x} \sin x dx = \int e^{x} \sin x dx.
$$

因此,在做题的时候,如果对某个式子尝试了一种形式的分部积分之后发现得出了无效的结果,一定要再试一试该式子另外一种形式的分部积分是否可行。

例二

$$
\int – (\sin x) (e^{-x}) dx =
$$

$$
\int – e^{-x} \sin x dx =
$$

$$
\int \sin x d(e^{-x}) =
$$

$$
e^{-x} \sin x – \int e^{-x} \cos x dx =
$$

$$
e^{-x} \sin x + [\int \cos x d(e^{-x})] =
$$

$$
e^{-x} \sin x + e^{-x} \cos x + \int e^{-x} \sin x dx \Rightarrow
$$

$$
(-2) \int e^{-x} \sin x dx = e^{-x} (\sin x + \cos x) =
$$

$$
(-1) \int e^{-x} \sin x dx = \frac{1}{2} e^{-x} (\sin x + \cos x).
$$