[线代]关于相似对角矩阵与对角矩阵的一个注意事项

前言

本文将对相似对角化后得到的对角矩阵和一般情况下经过一系列初等变换后得到的对角矩阵之间的区别做一个分析,以作参考。

正文

首先,如果一个 $n$ 阶矩阵 $A$ 能够对角化,也就是 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量,那么 $A$ 经过相似对角化得到的对角矩阵 $\Lambda$ 和 $A$ 经过一系列初等变换得到的对角矩阵 $\Lambda^{‘}$ 不一定相等。

这是因为,$A$ 的相似对角矩阵 $\Lambda$ 不仅仅是一个对角矩阵,还是一个与 $A$ 相似的矩阵,二者之间必须满足如下关系:

$$
P^{-1} A P = \Lambda, 其中,P 为可逆矩阵.
$$

基于“左行右列”的规律,虽然左乘一个可逆矩阵相当于进行一系列初等行变换,右乘一个可逆矩阵相当于进行一系列初等列变换,但是,$P^{-1} A P$ 中对 $A$ 所做的并不是随意的初等行变换和初等列变换。

由下面这篇文章我们可以知道,$P^{-1}$ 和 $P$ 如同距离单位矩阵 $E$ 相等距离的两个矩阵,即 $P^{-1}$ 和 $P$ 具有某种对称性:

[线代]通过把单位矩阵看作一张白纸或原点来理解一些做题思路

于是,我们可以知道,只有以一种“对称”或者“对等”的方式分别对矩阵 $A$ 做初等行变换和初等列变换后得到的一个对角矩阵才是和 $A$ 相似的对角矩阵,也只有这时,对角矩阵的主对角线上的元素才是 $A$ 的特征值。

事实上,如果不对所用的初等变换做限制,任何一个矩阵都可以化简成主对角线仅由 $0$ 和 $1$ 组成,主对角线之外的元素全都是 $0$ 的形式。这就如同任何一个实数都可以通过一系列乘除加减的运算变成 $0$ 或者 $1$ 一样——任何一个矩阵都可以看做是在一些“基”的基础上,经过一些伸缩变换后得到的。