题目
曲线 $\left\{\begin{matrix}
x = \arctan t,\\
y = \ln \sqrt{1+t^{2}}
\end{matrix}\right.$ 上对应于 $t=1$ 的点处的法线方程为 $?$
解析
解答本题的关键是知道如下性质：
$$
切线斜率 \times 法线斜率 = ( -1 ).
$$
$$
\frac{dy}{dt} =
$$
$$
\frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}} \times \frac{1}{2} (1+t^{2})^{-\frac{1}{2}} \times 2t =
$$
$$
\frac{t(1+t^{2})^{-\frac{1}{2}}}{\sqrt{1+t^{2}}}.
$$
$$
\frac{dx}{dt} =
$$
$$
\frac{1}{1+t^{2}}.
$$
于是：
$$
\frac{dy}{dx} =
$$
$$
t(1+t^{2})^{-\frac{1}{2}} \times (1+t^{2})^{\frac{1}{2}} = t.
$$
因此，当 $t=1$ 时，法线的斜率为：
$$
k = \frac{-1}{1} = -1.
$$
又，当 $t=1$ 时，有：
$$
x = \frac{\pi}{4};
$$
$$
y = \ln \sqrt{2}.
$$
于是，法线方程为：
$$
y – \ln \sqrt{2} = (-1) \times (x – \frac{\pi}{4}) \Rightarrow
$$
$$
x + y – \ln \sqrt{2} – \frac{\pi}{4} = 0.
$$
注意：在试卷上做标注时要特别注意，不要遮盖住了题目本身。有些题目部分区域字很小（例如写次方数的位置），细微的遮盖就有可能造成读题出错。
综上可知，正确答案为 $x + y – \ln \sqrt{2} – \frac{\pi}{4} = 0$.
EOF