题目
设函数 $f(x)$ 具有二阶导数，$g(x) = f(0)(1-x) + f(1)x$, 则在区间 $[0, 1]$ 上 $?$
$$
A. 当 f^{‘}(x) \geqslant 0 时，f(x) \geqslant g(x)
$$
$$
B.当 f^{‘}(x) \geqslant 0 时，f(x) \leqslant g(x)
$$
$$
C. 当 f^{”}(x) \geqslant 0 时，f(x) \geqslant g(x)
$$
$$
D. 当 f^{”}(x) \geqslant 0 时，f(x) \leqslant g(x)
$$
解析
当 $x=0$ 时：
$$
g(0) = f(0) \cdot (1-0) + f(1) \cdot 0 = f(0).
$$
当 $x=1$ 时：
$$
g(1) = f(1) (1-1) + f(1) \cdot 1 = f(1).
$$
于是可知，在区间 $[0,1]$ 内，$f(x)$ 与 $g(x)$ 的图像是首尾相接的。
若 $f^{‘}(x) \geqslant 0$, 则 $f(x)$ 单调递增，此时，有：
$$
f(1) > f(0).
$$
又：
$$
g^{‘}(x) = f(0) (-1) + f(1)=
$$
$$
f(1) – f(0).
$$
故：
$$
g^{‘}(x) > 0.
$$
因此，此时 $g(x)$ 也是一个增函数。
但是，由两个函数都是增函数并无法判断出谁大谁小，因此，$A$, $B$ 两项错误。
若 $f^{”}(x) \geqslant 0$, 则表明 $f(x)$ 是一个凹曲线。
又：
$$
g^{”}(x) = [f(1) – f(0)]^{‘} = 0.
$$
因此，$g(x)$ 是一条直线。
于是，可以判断出，此时，有：
$$
g(x) \geqslant f(x).
$$
注意：考研真题中很少（几乎没有）在题目中给出多余的不需要的条件，基本上题目中给的每个条件在解题时都能用到。而在本题中，题目中明确提到“$f(x)$ 具有二阶导数”，因此，想解出本题很可能要涉及二阶导，由此可以基本排除（做题时不优先判断）不涉及二阶导的 $A$, $B$ 两项。
综上可知，正确选项为 $D$.
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