2015年考研数二第03题解析

题目

设函数 $f(x) = \left{\begin{matrix}
x^{\alpha} \cos \frac{1}{x^{\beta}}, x > 0\
0, x \leqslant 0,
\end{matrix}\right.$ $(\alpha > 0, \beta > 0)$, 若 $f^{‘}(x)$ 在 $x=0$ 处连续,则 $?$

$$
A. \alpha – \beta > 1
$$

$$
B. 0 < \alpha – \beta \leqslant 1
$$

$$
C. \alpha – \beta > 2
$$

$$
D. 0 < \alpha – \beta \leqslant 2
$$

解析

方法一:

观察选项可知,所有选项都是在描述 $\alpha – \beta$ 的大小,因此,我们可以取几个特殊值计算一下,寻找正确答案。

由于“可导必连续,连续不一定可导”。因此,若 $f^{‘}(x)$ 在 $x=0$ 处可导,则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处也一定可导。于是,我们可以对原函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处是否连续做判断。

取 $\alpha = 2, \beta =1$, 即 $\alpha – \beta = 1$, 则有:

$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} x^{2} \cos \frac{1}{x} =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\cos \frac{1}{x}}{x^{-2}} \Rightarrow
$$

$\cos \frac{1}{x}$ 是一个有界函数,$x^{-2}$ 趋向于无穷大,一个有界函数除以一个无穷大则等于零,于是有:

$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\cos \frac{1}{x}}{x^{-2}} = 0.
$$

因此,此条件下 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续。但是,这个结论只告诉我们 $f(x)$ 在此条件下连续,并没有告诉我们 $f(x)$ 在不满足此条件下不连续,因此,通过该结论不能排除或者也不能确认 $A$, $C$ 两项。另外,也不能排除或者也不能确认 $B$, $D$.

取 $\alpha = 3, \beta =1$, 即 $\alpha – \beta = 2$, 则有:

$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} x^{3} \cos \frac{1}{x} =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\cos \frac{1}{x}}{x^{-3}} = 0.
$$

取 $\alpha = 4, \beta =1$, 即 $\alpha – \beta = 3$, 则有:

$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} x^{4} \cos \frac{1}{x} =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\cos \frac{1}{x}}{x^{-4}} = 0.
$$

按照这个思路继续向下写,当 $\alpha – \beta = 99999…$ 的时候,$f(x)$ 在 $x=0$ 处都是连续的。符合该条件的选项只有一个,那就是 $A$ 项。

方法二:

由于 $f^{‘}(x)$ 在 $x=0$ 处连续,因此,$f^{‘}(x)$ 在 $x=0$ 左右两侧的导函数值一定存在且相等。

又:

$$
f^{‘}(0) =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x) – f(0)}{x – 0} =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x} =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0} x^{\alpha – 1} \cos \frac{1}{x^{\beta}}.
$$

由于 $\cos \frac{1}{x^{\beta}}$ 是一个有界函数,当 $\alpha – 1 \geqslant 0$ 时,$\lim_{x \rightarrow 0} x^{\alpha – 1} = 0$, 此时有:

$$
0 \cdot 有界函数 = 0.
$$

而当 $\alpha – 1 < 0$, $\lim_{x \rightarrow 0} x^{\alpha – 1} = \infty$, 此时有:

$$
\infty \cdot 有界函数 = \infty
$$

因此,满足题目条件的只有:

$$
\alpha – 1 \geqslant 0 \Rightarrow
$$

$$
\alpha \geqslant 1.
$$

又因为:

$$
f^{‘}(x) =
$$

$$
\alpha x^{\alpha – 1} \cos \frac{1}{x^{\beta}} + x^{\alpha} (- \sin \frac{1}{x^{\beta}}) (- \beta x^{- \beta – 1}) =
$$

$$
\alpha x^{\alpha – 1} \cos \frac{1}{x^{\beta}} + x^{\alpha} (\sin \frac{1}{x^{\beta}}) (\beta x^{- \beta – 1}) =
$$

$$
\alpha x^{\alpha – 1} \cos \frac{1}{x^{\beta}} + (\sin \frac{1}{x^{\beta}}) (\beta x^{\alpha – \beta – 1}) ①
$$

同前面的分析,要想让 $f^{‘}(x)$ 在 $x=0$ 处连续,必须有:

$$
\alpha – 1 \geqslant 0;
$$

$$
\alpha – \beta – 1 \geqslant 0.
$$

于是有:

$$
\alpha \geqslant 1;
$$

且:

$$
\alpha – \beta \geqslant 1.
$$

又由于:

$$
\alpha > 0, \beta > 0.
$$

因此,当 $\alpha – \beta \geqslant 1$ 时,一定有:

$$
\alpha \geqslant 1.
$$

于是,满足题目要求的结果为:

$$
\alpha – \beta \geqslant 1.
$$

又因为 $\alpha – \beta > 1$ 为 $\alpha – \beta \geqslant 1$ 的子集,因此,$\alpha – \beta > 1$ 也能使题目条件成立。

综上可知,正确选项为 $A$.

EOF