2016年考研数二第09题解析

题目

曲线 $y$ $=$ $\frac{x^{3}}{1+x^{2}}$ $+$ $\arctan(1+x^{2})$ 的斜渐近线方程为 $?$

解析

$$
a = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{y}{x} =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} [\frac{x^{2}}{1+x^{2}} + \frac{\arctan (1+x^{2})}{x}] =
$$

$$
1 + \frac{\frac{\pi}{2}}{\infty} =
$$

注意:

  1. $y = \arctan k$ 是一个有界函数,一个有界函数除以一个无穷大就等于 $0$.
  2. 在包含极限的题目中,一定要看清楚当前趋于的极限是什么,只有趋于 $0$ 的时候才可以用等价无穷小替换。因此,不要看到一个等价无穷小替换中的式子就用等价无穷小替换(例如本题中用 $\arctan(1+x^{2}) \sim 1+x^{2}$ 就是错的。)——用一个公式或者性质之前一定要确认当前是否满足使用该公式或者性质的前提条件。

$$
1+0=1.
$$

$$
b = \lim_{x \rightarrow \infty} (y – ax) =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} [\frac{x^{3}}{1+x^{2}} + \arctan (1+x^{2}) – 1 \cdot x] =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} [x + \frac{\pi}{2} – x] =
$$

$$
\frac{\pi}{2}.
$$

于是,斜渐近线的方程为:

$$
y = ax + b \Rightarrow
$$

$$
y = x + \frac{\pi}{2}.
$$

综上可知,正确答案为 $y = x + \frac{\pi}{2}$.

EOF