2018年考研数二第05题解析

题目

设 $M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(1+x)^{2}}{1+x^{2}}dx$, $N=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+x}{e^{x}} dx$, $K=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (1+\sqrt{\cos x}) dx$, 则 $?$.

$$A. M>N>K$$

$$B. M>K>N$$

$$C. K>M>N$$

$$D. K>N>M$$

解析

方法一

本题是比较积分的大小,也就是各个函数在区间 $[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ 内围成的面积的大小,因此,可以带入一些特殊的数值,大致判断一下函数的图像,从而判断出它们围成面积的大小。

为了判断准确且计算方便,我们选取 $x=-\frac{3}{2}$, $x=\frac{3}{2}$ 和 $x=0$ 这三个点代入计算 ($3 \approx \pi$)。

首先,通过观察可知,$M$ 和 $K$ 对应的函数的图像都位于 $x$ 轴上方,而 $N$ 对应的函数图像存在位于 $x$ 轴下方的部分——当 $x<0$ 时,$N$ 对应的图像位于 $x$ 轴下方,当 $x>0$ 时,由于分母 $e^{x}$ 的增加速度要大于分子 $1+x$ 的增加速度,因此 $\frac{1+x}{e^{x}}$ 的在 $x$ 在第一象限的图像上升不是很快,由此判断出 $N$ 的积分可能是三者中最小的。

对于 $K$, 有如下数据:

$$
x=0 \Rightarrow y=2;
$$

$$
x=-\frac{\pi}{2} \Rightarrow y=1;
$$

$$
x=\frac{\pi}{2} \Rightarrow y=1.
$$

对于 $M$, 有以下数据:

$$
x=0 \Rightarrow y=1;
$$

$$
x= – \frac{3}{2} \Rightarrow y= \frac{1}{2};
$$

$$
x=\frac{3}{2} \Rightarrow y=\frac{25}{13} \approx 2.
$$

由上可以判断,$M<K$, 于是有:

$K>M>N$, 即 $C$ 选项正确。

如果对上述结果的准确性存疑,可以再多选取几个样本点并计算出相应的函数值,从而提高判断正确的可能性。

方法二

方法一只能粗略地判断,判断结果并不一定对。因此,可以通过一些计算进一步确认。

由于:

$$
M = \int_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(1+x)^{2}}{1+x^{2}} dx =
$$

$$
\int_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+x^{2}+2x}{1+x^{2}} dx =
$$

$$
\int_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (1+ \frac{2x}{1+x^{2}}) dx =
$$

由于 $\frac{2(-x)}{1+x^{{2}}} = -\frac{2x}{1+x^{2}}$ 是奇函数且区间 $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ 关于原点对称,因此有:

$$
M = \int_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 1 dx = \pi.
$$

又因为,在 $[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ 区间内,有:

$$
1<1+\sqrt{\cos x} \Rightarrow
$$

$$
\int_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(1+\sqrt{\cos x}) dx >\int_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 1 dx =\pi$$

$$
\frac{1+x}{e^{x}}<1 \Rightarrow
$$

$$
\int_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+x}{e^{x}}< \int_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 1 dx =\pi$$

所以:

$$
K>M>N.
$$

综上可知,正确选项是 $C$.

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作者: zhaokaifeng.com

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