题目
设 $M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(1+x)^{2}}{1+x^{2}}dx$, $N=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+x}{e^{x}} dx$, $K=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (1+\sqrt{\cos x}) dx$, 则 $?$.
$$A. M>N>K$$
$$B. M>K>N$$
$$C. K>M>N$$
$$D. K>N>M$$
解析
方法一
本题是比较积分的大小，也就是各个函数在区间 $[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ 内围成的面积的大小，因此，可以带入一些特殊的数值，大致判断一下函数的图像，从而判断出它们围成面积的大小。
为了判断准确且计算方便，我们选取 $x=-\frac{3}{2}$, $x=\frac{3}{2}$ 和 $x=0$ 这三个点代入计算 ($3 \approx \pi$)。
首先，通过观察可知，$M$ 和 $K$ 对应的函数的图像都位于 $x$ 轴上方，而 $N$ 对应的函数图像存在位于 $x$ 轴下方的部分——当 $x<0$ 时，$N$ 对应的图像位于 $x$ 轴下方，当 $x>0$ 时，由于分母 $e^{x}$ 的增加速度要大于分子 $1+x$ 的增加速度，因此 $\frac{1+x}{e^{x}}$ 的在 $x$ 在第一象限的图像上升不是很快，由此判断出 $N$ 的积分可能是三者中最小的。
对于 $K$, 有如下数据：
$$
x=0 \Rightarrow y=2;
$$
$$
x=-\frac{\pi}{2} \Rightarrow y=1;
$$
$$
x=\frac{\pi}{2} \Rightarrow y=1.
$$
对于 $M$, 有以下数据：
$$
x=0 \Rightarrow y=1;
$$
$$
x= – \frac{3}{2} \Rightarrow y= \frac{1}{2};
$$
$$
x=\frac{3}{2} \Rightarrow y=\frac{25}{13} \approx 2.
$$
由上可以判断，$M<K$, 于是有：
$K>M>N$, 即 $C$ 选项正确。
如果对上述结果的准确性存疑，可以再多选取几个样本点并计算出相应的函数值，从而提高判断正确的可能性。
方法二
方法一只能粗略地判断，判断结果并不一定对。因此，可以通过一些计算进一步确认。
由于：
$$
M = \int_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(1+x)^{2}}{1+x^{2}} dx =
$$
$$
\int_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+x^{2}+2x}{1+x^{2}} dx =
$$
$$
\int_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (1+ \frac{2x}{1+x^{2}}) dx =
$$
由于 $\frac{2(-x)}{1+x^{{2}}} = -\frac{2x}{1+x^{2}}$ 是奇函数且区间 $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ 关于原点对称，因此有：
$$
M = \int_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 1 dx = \pi.
$$
又因为，在 $[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ 区间内，有：
$$
1<1+\sqrt{\cos x} \Rightarrow
$$
$$
\int_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(1+\sqrt{\cos x}) dx >\int_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 1 dx =\pi$$
$$
\frac{1+x}{e^{x}}<1 \Rightarrow
$$
$$
\int_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+x}{e^{x}}< \int_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 1 dx =\pi$$
所以：
$$
K>M>N.
$$
综上可知，正确选项是 $C$.
EOF