2020 年研究生入学考试数学一第 1 题解析

题目

$x\to 0^{+}$时，下列无穷小阶数最高的是 ( )

$A.{\int }_0^x(e^{t^2}-1)dt$

$B.{\int }_0^x\ln (1+\sqrt{t^3})dt$

$C.{\int }_0^{\sin x}\sin t^{2}dt$

$D.{\int }_0^{1-\cos x}\sqrt{{\sin }^{3}t}dt$

解析

A 项：

${\int }_0^x(e^{t^2}-1)dt\sim {\int }_0^x{t}^{2}dt=\frac{1}{3}{x}^3.$

B 项：

${\int }_0^x\ln (1+\sqrt{t^3})dt\sim {\int }_0^x{t}^{\frac{3}{2}}dt=\frac{2}{5}{x}^{\frac{5}{2}}.$

C 项：

${\int }_0^{\sin x}\sin t^{2}dt\sim {\int }_0^x{t}^{2}dt=\frac{1}{3}{x}^3.$

D项：

${\int }_0^{1-\cos x}\sqrt{{\sin }^{3}t}dt\sim {\int }_0^{\frac{1}{2}{x}^2}{t}^{\frac{3}{2}}dt=\frac{2}{5}{t}^{\frac{5}{2}}{|}_0^{\frac{1}{2}{x}^2}=\frac{2}{5}\cdot (\frac{1}{2}{)}^{\frac{5}{2}}\cdot x^5.$

综上可知，正确答案是：D.

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