柯西–施瓦茨不等式的一个特例及其证明

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将给出下面这个平方和不等式（也可以看作是柯西–施瓦茨不等式的一个特例）的证明：

$$
\left| x \right| \leqslant \sqrt{x^{2}+y^{2}}
$$

二、正文

因为 $y^{2} \geqslant 0$, 所以：

$$
x^{2} \leqslant x^{2} + y^{2}
$$

两边都非负，开平方得：

$$
\sqrt{x^{2}} = \left| x \right| \leqslant \sqrt{x^{2}+y^{2}}
$$

其中，当且仅当 $y = 0$ 的时候，上式中等号成立.

从几何的视角来看，$\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 是点 $(x,y)$ 到平面直角坐标系原点的距离，而 $\left| x \right|$ 是其横坐标的绝对值，由于距离不小于其横向投影长度，因此也可以证明下式成立：

$$
\left| x \right| \leqslant \sqrt{x^{2}+y^{2}}
$$

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