一元函数一点处极限的性质之唯一性

一、性质

若函数 $f\left(x\right)$ 在点 $x_{{0}}$ 处存在极限，则极限值唯一.

二、性质的证明（反证法）

不妨设 $A, B \in \mathbb{R}$ 均为函数 $f\left(x\right)$ 在点 $x_{{0}}$ 处的极限，按照一元函数一点处极限的定义，对于任意给定的 $\epsilon > 0$,

• $\exists \delta_{{1}} > 0, \forall x \left(0 < \left|x – x_{{0}}\right| < \delta_{{1}}\right)$, 使得 $\left|f\left(x\right) – A\right| < \dfrac{\epsilon}{2}$；

• $\exists \delta_{{2}} > 0, \forall x \left(0 < \left|x – x_{{0}}\right| < \delta_{{2}}\right)$, 使得 $\left|f\left(x\right) – B\right| < \dfrac{\epsilon}{2}$.

取 $\delta = \min\left\{\delta_{{1}}, \delta_{{2}}\right\}$, 由三角不等式可知，当 $0 < \left|x – x_{{0}}\right| < \delta$ 时，有：

$$
\begin{aligned}
& \ \left|A – B\right| \\ \\
\leqslant & \ \left|f\left(x\right) – A\right| + \left|f\left(x\right) – B\right| \\ \\
< & \ \dfrac{\epsilon}{2} + \dfrac{\epsilon}{2} = \epsilon
\end{aligned}
$$

由于 $\epsilon$ 具有任意性（$\epsilon$ 可任意接近 $0$），因此可知：

$$
A = B
$$

综上可知，性质得证.

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