相似变换、合同变换和正交变换三者之间的包含关系

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将对矩阵的相似变换、合同变换和正交变换之间的关系做一个详细的讲解.

二、正文

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 将矩阵 $\boldsymbol{A}$ 通过相似变换变为矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的过程是：

存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$, 使得下式成立：

$$
\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P} = \boldsymbol{B}
$$

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 将矩阵 $\boldsymbol{A}$ 通过合同变换变为矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的过程是：

存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$, 使得下式成立：

$$
\boldsymbol{P}^{\top} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P} = \boldsymbol{B}
$$

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 将矩阵 $\boldsymbol{A}$ 通过正交变换变为矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的过程是：

存在正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$, 使得下式成立：

$$
\boldsymbol{Q}^{\top} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{B}
$$

又由于正交矩阵一定是可逆矩阵，所以，如果 $\boldsymbol{Q}$ 是一个正交矩阵，即下式成立：

$$
\boldsymbol{Q}^{\top} \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{E}
$$

那么，下式也成立：

$$
\boldsymbol{Q}^{-1} \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{E}
$$

综上可知，正交变换既属于相似变换，也属于合同变换，但一般的相似变换与合同变换并不互相包含，如图 01 所示：

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