峰图 | 单位矩阵“拓印”过程的“面积”恒定定理

什么是“峰图”：
峰图（Feng Graph）指的是，由「荒原之梦」（zhaokaifeng.com）原创的一种基于抽象图形的数学定理可视化定义、解释、推导与应用的方法. 「荒原之梦」认为，和自然语言一样，数学的本质原理并不局限于特定的表达形式. 所以，如果说传统上的数学是基于数字（包括各种符号）进行描述的数字数学，那么，峰图就是要建立（现在是局部建立）基于图形的，数字数学的几何形态“克隆体”，并力求使数学原理的表述和数学问题的解答变得更加简单、直观且易于理解.

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过峰图所表现出的“拓印”过程，形象地揭示矩阵初等变换过程中一些有趣也有意义的现象.

二、正文

Tip

本文中接下来提到的所有矩阵，如果需要是可逆矩阵（需要用到逆矩阵），则原矩阵就是可逆矩阵，否则，原矩阵不要求是可逆矩阵.

zhaokaifeng.com

首先，我们约定用如图 01 所示的图形表示单位矩阵 $\boldsymbol{E}$（如果图 01 中的矩阵表示的是只有主对角线上元素不全为零，其他位置的元素都全为零元素的矩阵，本文中的相关结论和性质也是成立的）其中，连接图 01 中正方形左上角到右下角的直线表示单位矩阵主对角线上的元素：

根据矩阵的性质，以及矩阵的初等行变换和初等列变换的性质可知，对 $\begin{pmatrix}
\boldsymbol{A} \mid \boldsymbol{E}
\end{pmatrix}$ 这样的矩阵做初等行变换的时候，将矩阵 $\boldsymbol{A}$ 中的非零元素消为零元素的过程，就可能导致单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 中的零元素变成非零元素，并且单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 中所有的非零元素都来自主对角线上的非零元素进行的某种运算，因此，我们可以将 $\boldsymbol{E}$ 中某个位置零元素到非零元素的变化看作是主对角线“扫过”的结果.

类似地，对 $\begin{pmatrix}
\boldsymbol{A} \\
\boldsymbol{E}
\end{pmatrix}$ 这样的矩阵做初等列变换的时候，将矩阵 $\boldsymbol{A}$ 中的非零元素消为零元素的过程，也可能导致单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 中的零元素变成非零元素，并且单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 中所有的非零元素都来自主对角线上的非零元素进行的某种运算，因此，我们也可以将 $\boldsymbol{E}$ 中某个位置零元素到非零元素的变化看作是主对角线“扫过”的结果.

根据上面的分析，在本文中，「荒原之梦考研数学」将这种通过初等行变换或者初等列变换，在一个矩阵中实现“消零”，同时在另一个矩阵中实现“零消”的操作称为“拓印”过程.

初等行变换

在前面的分析中，我们只知道了，在同一行或者同一列元素中，对非零元素的消零操作可能导致零元素变成非零元素.

但是，如果我们用如图 02 所示的带有绿色上三角的矩形表示上三角矩阵 $\boldsymbol{A}$, 在对 $\begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \mid \boldsymbol{E} \end{pmatrix}$ 做初等行变换的时候，主对角线上的元素，以及已经存在或者已经产生的非零元素，似乎不可避免地会导致原本全是零元素的区域变得存在非零元素——

这个时候，就需要用到《任何矩阵初等变换的集合都可以表现出“方向性”》这篇文章中的结论了：不同的初等行（列）变换方向可以是等价的.

因此，我们约定，在通过初等行变换将上三角矩阵 $\boldsymbol{A}$ 变成其逆矩阵 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 的过程中，变换的方向必须是从矩阵的最后一行开始，到矩阵的第一行结束——

推广来说就是，以主对角线为界，由非零元素三角区域或者零元素三角区域的最窄处开始，向该区域的最宽处方向做初等行（列）变换.

上面这个“方向”的初等变换既与其他结果相同的初等变换等价，又可以确保非零元素变零元素，或者确保零元素变非零元素.

具体来说，通过上面的初等变换过程，可以确保图 02 中矩阵 $\boldsymbol{A}$ 上三角区域的非零元素可以被其下面的行消为零元素，也可以确保矩阵 $\boldsymbol{A}$ 下三角区域的零元素仍然保持为零元，不会变成非零元素；同时，这样的变换过程还可以确保在单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 中，主对角线上元素“扫过”的区域的某些零元素可以变为非零元素.

于是，根据初等变换求逆原理和图 02 可以知道，对于上三角矩阵 $\boldsymbol{A}$ 而言，其逆矩阵也是一个上三角矩阵：

类似地，根据前面的思路，我们可以用“峰图”的形式证明，下三角矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的逆矩阵也是一个下三角矩阵，如图 03 所示：

当然，根据上面的思路，我们还可以证明更加广泛的定理：对于一般的方阵 $\boldsymbol{C}$, 将 $\boldsymbol{C}$ 变成上三角矩阵 $\boldsymbol{C}^{\prime}$ 的过程，会导致 $\begin{pmatrix} \boldsymbol{C} \mid \boldsymbol{E} \end{pmatrix} \leadsto \begin{pmatrix} \boldsymbol{C}^{\prime} \mid \boldsymbol{E}^{\prime} \end{pmatrix}$ 中的单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 变成下三角矩阵 $\boldsymbol{E}^{\prime}$, 如图 04 所示：

类似地，对于一般的方阵 $\boldsymbol{C}$, 将 $\boldsymbol{C}$ 变成下三角矩阵 $\boldsymbol{C}^{\prime \prime}$ 的过程，会导致 $\begin{pmatrix} \boldsymbol{C} \mid \boldsymbol{E} \end{pmatrix} \leadsto \begin{pmatrix} \boldsymbol{C}^{\prime \prime} \mid \boldsymbol{E}^{\prime \prime} \end{pmatrix}$ 中的单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 变成上三角矩阵 $\boldsymbol{E}^{\prime \prime}$, 如图 05 所示：

当然，如图 06 所示，任何从单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 开始，经过一系列初等行变换得到的矩阵 $\boldsymbol{D}$, 都可以经过一系列初等行变换变回单位矩阵 $\boldsymbol{E}$:

初等列变换

在前面，我们通过“峰图”证明了初等行变换对矩阵上三角或者下三角特征的影响，在初等列变换中，对应的性质和结论也是一致的.

例如，对于上三角矩阵 $\boldsymbol{A}$, 经过初等列变换后得到的逆矩阵 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 也是上三角矩阵，如图 07 所示：

类似地，对于下三角矩阵 $\boldsymbol{B}$, 经过初等列变换后得到的逆矩阵 $\boldsymbol{B}^{-1}$ 也是下三角矩阵，如图 08 所示：

此外，对于一般的方阵 $\boldsymbol{C}$, 经过一系列初等列变换将其变为下三角矩阵 $\boldsymbol{C}^{\prime}$ 后，$\begin{pmatrix} \boldsymbol{C} \\ \boldsymbol{E} \end{pmatrix} \leadsto \begin{pmatrix} \boldsymbol{C}^{\prime} \\ \boldsymbol{E}^{\prime} \end{pmatrix}$ 中的单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 会变成一个上三角矩阵 $\boldsymbol{E}^{\prime}$, 如图 09 所示：

类似地，对于一般的方阵 $\boldsymbol{C}$, 经过一系列初等列变换将其变为上三角矩阵 $\boldsymbol{C}^{\prime \prime}$ 后，$\begin{pmatrix} \boldsymbol{C} \\ \boldsymbol{E} \end{pmatrix} \leadsto \begin{pmatrix} \boldsymbol{C}^{\prime \prime} \\ \boldsymbol{E}^{\prime \prime} \end{pmatrix}$ 中的单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 会变成一个下三角矩阵 $\boldsymbol{E}^{\prime \prime}$, 如图 10 所示：

当然，如图 11 所示，任何从单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 开始，经过一系列初等列变换得到的矩阵 $\boldsymbol{D}$, 都可以经过一系列初等列变换变回单位矩阵 $\boldsymbol{E}$:

三、总结

观察本文的峰图中所展示的矩阵“拓印”可以发现，在“拓印”的过程中，全零元素组成的三角区域和非全零元素组成的三角区域在几何意义上的“面积”实际上是相等的，这就是矩阵“拓印”过程的“面积”恒等现象.

当然，「荒原之梦考研数学」在本文中所提出的“拓印”过程与“拓印”的“面积”恒定定理在进一步的工作中，还需要证明是否可以推广至反上三角形矩阵、反下三角形矩阵，甚至全零和非全零区域为其他形状的矩阵等更多类型的矩阵中（一般来说，从几何性质上看，是可以直接推广至这些矩阵中的）.

峰图，让数学变成直觉.
FengGraph, Make Math Intuitive.

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