任何矩阵初等变换的集合都可以表现出“方向性”

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过原理分析和实际的例子，说明矩阵的初等行变换或者初等列变换可以表现出“方向性”，特别是“单向性”.

二、正文

我们知道，根据矩阵乘法的左行右列原理，对矩阵 $\boldsymbol{A}$ 进行一系列初等行变换，使之变成矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的过程，就相当于在矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的左边乘以一个包含且仅包含了这些初等行变换的初等矩阵 $\boldsymbol{P}$, 即：

$$
\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} = \boldsymbol{B}
$$

其中，矩阵 $\boldsymbol{P}$ 可以看作是由有限多个表示初等行变换的初等矩阵相乘得到的：

$$
\boldsymbol{P} = \boldsymbol{P}_{1} \cdot \boldsymbol{P}_{2} \cdots \boldsymbol{P}_{k} \tag{1}
$$

类似地，根据矩阵乘法的左行右列原理，对矩阵 $\boldsymbol{A}$ 进行一系列初等列变换，使之变成矩阵 $\boldsymbol{C}$ 的过程，就相当于在矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的右边乘以一个包含且仅包含了这些初等列变换的初等矩阵 $\boldsymbol{Q}$, 即：

$$
\boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{C}
$$

其中，矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 可以看作是由有限多个表示初等列变换的初等矩阵相乘得到的：

$$
\boldsymbol{Q} = \boldsymbol{Q}_{1} \cdot \boldsymbol{Q}_{2} \cdots \boldsymbol{Q}_{m} \tag{2}
$$

在上面的 $(1)$ 式和 $(2)$ 中，$\boldsymbol{P}_{1}, \boldsymbol{P}_{2}, \cdots, \boldsymbol{P}_{k}$ 的组合可能有多种形式，$\boldsymbol{Q}_{1}, \boldsymbol{Q}_{2}, \cdots, \boldsymbol{Q}_{m}$ 的组合也可能有多种形式. 同时，这些组合形式之中，初等行变换的方向可以在列的方向上是任意的，初等列变换的方向可以在行的方向上是任意的——

例如，对于一个 $3 \times 3$ 阶的矩阵施加初等行变换，我们可以先对第二行进行变换，再对第一行进行变换，再对第三行进行变换；也可以先对第三行进行变换，再对第二行进行变换，再对第一行进行变换. 这两种变换方式所得的矩阵可以是相同的，虽然变换的“方向”是不同的.

举例来说，由矩阵 $\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$ 到矩阵 $\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 0
\end{pmatrix}$ 的变换过程，可以是下面这样的（存在向上或者向下的多个变换方向）：

$$
\begin{aligned}
& \ \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \Leftrightarrow } & \ \textcolor{gray}{\text{ 第三行加到第一行 }} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \Leftrightarrow } & \ \begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \Leftrightarrow } & \ \textcolor{gray}{\text{ 第二行乘以 2 }} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \Leftrightarrow } & \ \begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \Leftrightarrow } & \ \textcolor{gray}{\text{ 交换第二行和第三行的位置 }} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \Leftrightarrow } & \ \begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 0
\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$

由矩阵 $\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$ 到矩阵 $\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 0
\end{pmatrix}$ 的变换过程，也可以是下面这样的（只存在由下向上的一个变换方向）：

$$
\begin{aligned}
& \ \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \Leftrightarrow } & \ \textcolor{gray}{\text{ 交换第二行和第三行的位置 }} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \Leftrightarrow } & \ \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \Leftrightarrow } & \ \textcolor{gray}{\text{ 第三行乘以 2 }} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \Leftrightarrow } & \ \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 0
\end{pmatrix} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \Leftrightarrow } & \ \textcolor{gray}{\text{ 第二行加到第一行 }} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \Leftrightarrow } & \ \begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 0
\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$

如果我们将从一个矩阵开始，经过一些列初等行变换或者初等列变换变成另一个矩阵的过程中所执行的初等行变换或者初等列变换操作看作一个“集合”（该集合中不能既包含初等行变换，又包含初等列变换），那么，就可以说，这个集合中的初等行变换或者初等列变换是存在“方向性”的，而且具体的“方向”由我们的执行过程，或者说观察过程决定. 同时，同一个集合中的初等行变换或者初等列变换的方向可能是不同的，但是本质上都是一样，都能将一个矩阵 $\boldsymbol{A}$ 变成矩阵 $\boldsymbol{B}$（或者矩阵 $\boldsymbol{C}$）.

另外，初等变换是双向的，所有矩阵都是从单位矩阵变来的，所有矩阵也都可以变回单位矩阵.

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