用“峰式画线法”证明矩阵乘法的转置运算律

一、前言

当矩阵的乘法和转置运算结合的时候，有如下运算律：

$$
\textcolor{yellow}{
(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\top} = \boldsymbol{B}^{\top} \boldsymbol{A}^{\top}
}
$$

从上面这条定理出发，我们可以验证任意多个矩阵相乘时的转置运算律。例如，若令矩阵 $\boldsymbol{B}$ $=$ $\boldsymbol{C} \boldsymbol{D}$, 则：

$$
\begin{aligned}
& \ (\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\top} = \boldsymbol{B}^{\top} \boldsymbol{A}^{\top} \\
\Rightarrow & \ [\boldsymbol{A} (\boldsymbol{C} \boldsymbol{D})]^{\top} = (\boldsymbol{C} \boldsymbol{D})^{\top} \boldsymbol{A}^{\top} \\
\Rightarrow & \ [\boldsymbol{A} \boldsymbol{C} \boldsymbol{D}]^{\top} = \boldsymbol{D}^{\top} \boldsymbol{C}^{\top} \boldsymbol{A}^{\top} \\
\end{aligned}
$$

在本文中，「荒原之梦考研数学」将使用原创的“峰式画线法”证明矩阵乘法的转置运算律。

Note

作为对比，可以发现，用传统数学方法完成的证明过程会显得较为繁琐：链接 1、链接 2.

zhaokaifeng.com

二、正文

定义

根据矩阵乘法“左行右列”的运算规则，在计算 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ 的时候，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 贡献“行”，矩阵 $\boldsymbol{B}$ 贡献“列”，于是，如图 01 所示，我们可以分别使用“横线”和“竖线”表示矩阵 $\boldsymbol{A}$ 贡献出来的“行”和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 贡献出来的“列”，并用横线和竖线的“交叉点”表示行元素和列元素通过矩阵乘法运算得到的值：

同时，我们规定，两条交叉的线，无论谁作为横线，谁作为竖线，其交叉点对应的值都是相等的，如图 02 所示：

完备性

「荒原之梦考研数学」在本文中所原创提出的“峰式画线法”之所以可行，是因为以下原因：

• “峰式画线法”的定义建立于数学对矩阵乘法的原有定义之上；
• “峰式画线法”中定义的线条交叉点具有稳定性（因为画在纸上的线条并不会在纸上呈现出两种或两种以上的状态），不会产生歧义。

证明过程

Tip

在下面的计算过程中，我们令矩阵 $\boldsymbol{A}$ 为 $2 \times 2$ 阶的矩阵，矩阵 $\boldsymbol{B}$ 为 $2 \times 3$ 阶的矩阵，这两个矩阵虽然不是任意矩阵，但一个是方阵，一个是非方阵，具有一定程度上广泛的代表性。

zhaokaifeng.com

首先，我们将矩阵 $\boldsymbol{A}_{2 \times 2}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}_{2 \times 3}$ 简化为：

于是，矩阵 $\boldsymbol{A}_{2 \times 2}^{\top}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}_{3 \times 2}^{\top}$ 的简化模型为：

接着，开始进行矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 的乘法运算，结果为：

对矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 进行转置运算，可得：

类似地，进行矩阵 $\boldsymbol{B}^{\top}$ 和 $\boldsymbol{A}^{\top}$ 的乘法运算，结果为：

比较上面的图 08 和图 09 可知，这两个由“峰式画线法”得到的画线模型完全一致，因此，下式得证：

$$
\textcolor{springgreen}{
(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\top} = \boldsymbol{B}^{\top} \boldsymbol{A}^{\top}
}
$$

---