常用的左右极限汇总（图示）

一、前言

在涉及极限运算的题目中，我们需要特别注意左极限和右极限的问题，因为这两个极限有可能是不相等的。

在本文中，「荒原之梦考研数学」就对高等数学中常用的左右极限不相等的例子做一个汇总，并通过图示的形式加深同学们对这些例子的理解和掌握。

二、正文

$a^0$

$$\begin{array}{r}a>0\Rightarrow \\ \\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{a}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}^{\frac{1}{n}}=a^0\\ \\ & =1\end{array}$$

$e^x$

$$\begin{array}{rl}& \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\mathrm{e}}^x=+\mathrm{\infty }\\ \\ & \underset{x\to –\mathrm{\infty }}{lim}{\mathrm{e}}^x=0\end{array}$$

$\arctan x$

$$\begin{array}{rl}& \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\arctan x=\frac{\pi }{2}\\ \\ & \underset{x\to –\mathrm{\infty }}{lim}\arctan x=–\frac{\pi }{2}\\ \\ & \underset{x\to 0^{+}}{lim}\arctan \left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\pi }{2}\\ \\ & \underset{x\to 0^{–}}{lim}\arctan \left(\frac{1}{x}\right)=–\frac{\pi }{2}\end{array}$$

$\mathrm{arccot}x$

$$\begin{array}{rl}& \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\mathbf{arccot}x=0\\ \\ & \underset{x\to –\mathrm{\infty }}{lim}\mathbf{arccot}x=\pi \\ \\ & \underset{x\to 0^{+}}{lim}\mathbf{arccot}\left(\frac{1}{x}\right)=0\\ \\ & \underset{x\to 0^{–}}{lim}\arctan \left(\frac{1}{x}\right)=\pi \end{array}$$

---