为什么这道定积分题目要先拆分积分区间呢？因为含有 e^x

一、题目

难度评级：

二、解析

在本题中，虽然积分区间 $(-1, 1)$ 是一个对称区间，但是，如图 01 所示，在被积函数中，无论是 $y$ $=$ $e ^{x}$, $y$ $=$ $\ln (1 + e ^{x})$, 还是 $y$ $=$ $x \ln (1 + e ^{x})$ 都不是关于 $Y$ 轴对称的函数：

但是，这类区间对称的定积分本身就有一种“巧合的可疑”——为什么这道题目要设计成区分区间对称呢？

所以，对于这类积分区间对称，但被积函数又看上去没有什么对称属性的时候，特别是被积函数中还含有 $e ^{x}$ 的时候，我们就可以先从 $x$ $=$ $0$ 处将这个积分区间拆开，然后再想办法让拆开的这两个积分的积分区间变成相同的，或许就是我们的解题突破口。

解 题 思 路 简 图

graph TD
	A[积分区间对称]
	B[被积函数不对称]
	A --> C[从 x=0 处拆分积分区间]
	B --> C
	C --> D[将积分区间变成一样的]
	D --> E[合并被积函数]
	E --> F[完成求解]

$$
\begin{aligned}
I \\ \\
& = \int _ { – 1 } ^ { 1 } x \ln \left( 1 + \mathrm { e } ^ { x } \right) \mathrm { ~d } x \\ \\
& = \int _ { – 1 } ^ { 0 } \textcolor{red}{x} \ln \left( 1 + \mathrm { e } ^ { \textcolor{red}{x} } \right) \textcolor{red}{\mathrm { ~d } x} + \int _ { 0 } ^ { 1 } x \ln \left( 1 + \mathrm { e } ^ { x } \right) \mathrm { ~d } x \\ \\
& \xlongequal{ \textcolor{red}{x = -t} } \int _ { 1 } ^ { 0 } ( \textcolor{red}{- t} ) \ln \left( 1 + \mathrm { e } ^ { \textcolor{red}{- t} } \right) ( \textcolor{red}{- \mathrm { ~d } t} ) + \int _ { 0 } ^ { 1 } x \ln \left( 1 + \mathrm { e } ^ { x } \right) \mathrm { ~d } x \\ \\
& \xlongequal{ \textcolor{red}{x = t} } \textcolor{red}{-} \int _ { 0 } ^ { 1 } \textcolor{red}{x} \ln \left( 1 + \mathrm { e } ^ { \textcolor{red}{- x} } \right) \textcolor{red}{\mathrm { ~d } x} + \int _ { 0 } ^ { 1 } x \ln \left( 1 + \mathrm { e } ^ { x } \right) \mathrm { ~d } x \\ \\
& = \int_{0}^{1} x \left[ \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{ \ln (1 + e ^{x}) – \ln (1 + e ^{-x}) }} \right] \mathrm{~d} x \\ \\
& = \int_{0}^{1} x \ln \left( \frac{1+e ^{x}}{1 + e ^{-x}} \right) \mathrm{~d} x \\ \\
& = \int_{0}^{1} x \ln \left( \frac{1+e ^{x}}{1} \cdot \frac{e ^{x}}{1 + e ^{x}} \right) \mathrm{~d} x \\ \\
& = \int_{0}^{1} x \ln \left( e ^{x} \right) \mathrm{~d} x \\ \\
& = \int _ { 0 } ^ { 1 } x \cdot \textcolor{springgreen}{ \boldsymbol{x} } \mathrm { ~ d } x \\ \\
& = \int _ { 0 } ^ { 1 } x ^ { 2 } \mathrm { ~ d } x \\ \\
& = \left. \frac { x ^ { 3 } } { 3 } \right| _ { 0 } ^ { 1 } \\ \\
& = \textcolor{green}{\boldsymbol{ \frac { 1 } { 3 } }}
\end{aligned}
$$

Note

通过本题，我们需要掌握的一个重要的式子就是：$\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{ \ln (1 + e ^{x})}}$ $\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{-}}$ $\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{\ln (1 + e ^{-x}) }}$ $\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{=}}$ $\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{x}}$.

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拓展资料

[1]. 考研数学解题思路积累：和 $e ^{x}$ 有关的那些式子

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