矩阵的加减运算：只有同型矩阵才可以做加减运算，所得的也是同型矩阵

一、前言

通过本文中，我们将解决下面的问题：

1. 什么样的矩阵可以做加减运算？
2. 实际矩阵的加减运算怎么做？
3. 抽象矩阵的加减运算有哪些定理？

二、正文

在开始之前，我们需要先设两个 $m$ 行 $n$ 列（$m\times n$）的矩阵：

$$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)$$

$$B=\left(\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& \cdots & b_{1n}\\ b_{21}& b_{22}& \cdots & b_{2n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ b_{m1}& b_{m2}& \cdots & b_{mn}\end{array}\right)$$

矩阵 $A$ 中的元素用 $a_{ij}$ 表示，矩阵 $B$ 中的元素用 $b_{ij}$ 表示。

实际矩阵的加减运算

由于只有同型的矩阵才可以相加减，因此，$A+B$ 和 $A-B$ 或 $B-A$ 这样的运算都是可以的，且加减运算所得的矩阵和原来的矩阵也是同型的。

Note

所谓“同型”就是指两个或多个矩阵的行数和列数都对应相等。

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同时，矩阵的加法运算就是将它们对应位置上的元素分别相加，例如：

$$A+B=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}+b_{11}& a_{12}+b_{12}& \cdots & a_{1n}+b_{1n}\\ a_{21}+b_{21}& a_{22}+b_{22}& \cdots & a_{2n}+b_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}+b_{m1}& a_{n2}+b_{n2}& \cdots & a_{mn}+b_{mn}\end{array}\right)$$

类似的，矩阵的减法运算就是将它们对应位置上的元素分别相减，例如：

$$A–B=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}–b_{11}& a_{12}–b_{12}& \cdots & a_{1n}–b_{1n}\\ a_{21}–b_{21}& a_{22}–b_{22}& \cdots & a_{2n}–b_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}–b_{m1}& a_{n2}–b_{n2}& \cdots & a_{mn}–b_{mn}\end{array}\right)$$

上面的运算过程还涉及一个“负矩阵”的概念，一个矩阵的负矩阵就是把这个矩阵的每一个元素变为其相反数得到的矩阵。

例如，矩阵 $A$ 的负矩阵，记为 $-A$, 且：

$$–A=\left(\begin{array}{cccc}–a_{11}& –a_{12}& \cdots & –a_{1n}\\ –a_{21}& –a_{22}& \cdots & –a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ –a_{m1}& –a_{m2}& \cdots & –a_{mn}\end{array}\right)$$

抽象矩阵的加减运算律

下面的矩阵 $A$ 和矩阵 $B$ 都是同型矩阵。

(1) $A+B$ $=$ $B+A$;

(2) $(A+B)+C$ $=$ $A+(B+C)$;

(3) $A+O$ $=$ $A$;

(4) $A+(–A)$ $=$ $O$

(5) $A-B$ $=$ $A+(–B)$ $=$ ${\left(a_{ij}–b_{ij}\right)}_{m\times n}$

Note

$O$ 表示零矩阵，零矩阵中的所有元素都为 $0$, 例如：$O_{2\times 2}$ $=$ $\left(\begin{array}{ll}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$, $O_{3\times 2}$ $=$ $\left(\begin{array}{ll}0& 0\\ 0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$.

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