题目
设二维随机变量 (X,Y) 服从正态分布 N(\mu,\mu;\sigma^{2},\sigma^{2};0), 则 E(XY^{2})=____.
解析
由于在正态分布 X \sim N(\mu, \sigma^{2}) 中 E(X)=\mu,D(X)=\sigma^{2}. 而且二维正态分布中依然遵循这一定理。
于是，根据题目中的条件我们知道，E(X)=E(Y)=\mu,D(X)=D(Y)=\sigma^{2}.
又由 \rho=0 我们知道，X 与 Y 相互独立。根据随机变量的独立性中的如下性质：
若 X_{1},X_{2},\dots , X_{n},Y_{1},Y_{2},\dots , Y_{m} 相互独立，f(\cdot) 为 n 元连续函数且 g(\cdot) 为 m 元连续函数，则 f(X_{1},X_{2}, \cdots , X_{n}) 与 g(X_{1},X_{2}, \cdots , X_{m}) 也相互独立。
因此，我们知道，X 与 Y^{2} 也相互独立，于是有：
E(XY^{2})=E(X)E(Y^{2})=E(X) \times [D(Y)+E^{2}(Y)]=\mu(\sigma^{2}+\mu^{2}).
综上可知，本题的正确答案是：\mu(\sigma^{2}+\mu^{2})
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