2011 年研究生入学考试数学一填空题第 6 题解析

一、题目

设二维随机变量 $(X,Y)$ 服从正态分布 $N(\mu,\mu;\sigma^{2},\sigma^{2};0),$ 则 $E(XY^{2})=$____.

二、解析

由于在正态分布 $X \sim $ $N(\mu, \sigma^{2})$中 $E(X)=\mu$, $D(X)=\sigma^{2}.$ 而且二维正态分布中依然遵循这一定理。

于是,根据题目中的条件我们知道,$E(X)=$ $E(Y)=\mu$, $D(X)=$ $D(Y)=$ $\sigma^{2}.$

又由 $\rho=0$ 我们知道,$X$ 与 $Y$ 相互独立。根据随机变量的独立性中的如下性质:

若 $X_{1},X_{2},$ $\dots ,$ $ X_{n},$ $Y_{1},$ $Y_{2},$ $\dots ,$ $ Y_{m}$ 相互独立,$f(\cdot)$ 为 $n$ 元连续函数且 $g(\cdot)$ 为 $m$ 元连续函数,则 $f(X_{1},X_{2}, \cdots , X_{n})$ 与 $g(X_{1},X_{2}, \cdots , X_{m})$ 也相互独立。

因此,我们知道,$X$ 与 $Y^{2}$ 也相互独立,于是有:
$E(XY^{2})=$ $E(X)E(Y^{2})=$ $E(X) \times [D(Y)+E^{2}(Y)]=$ $\mu(\sigma^{2}+\mu^{2}).$

综上可知,本题的正确答案是:$\mu(\sigma^{2}+\mu^{2})$.

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