一、题目
设二维随机变量 $(X,Y)$ 服从正态分布 $N(\mu,\mu;\sigma^{2},\sigma^{2};0),$ 则 $E(XY^{2})=$____.
二、解析
由于在正态分布 $X \sim $ $N(\mu, \sigma^{2})$中 $E(X)=\mu$, $D(X)=\sigma^{2}.$ 而且二维正态分布中依然遵循这一定理。
于是，根据题目中的条件我们知道，$E(X)=$ $E(Y)=\mu$, $D(X)=$ $D(Y)=$ $\sigma^{2}.$
又由 $\rho=0$ 我们知道，$X$ 与 $Y$ 相互独立。根据随机变量的独立性中的如下性质：
若 $X_{1},X_{2},$ $\dots ,$ $ X_{n},$ $Y_{1},$ $Y_{2},$ $\dots ,$ $ Y_{m}$ 相互独立，$f(\cdot)$ 为 $n$ 元连续函数且 $g(\cdot)$ 为 $m$ 元连续函数，则 $f(X_{1},X_{2}, \cdots , X_{n})$ 与 $g(X_{1},X_{2}, \cdots , X_{m})$ 也相互独立。
因此，我们知道，$X$ 与 $Y^{2}$ 也相互独立，于是有：
$E(XY^{2})=$ $E(X)E(Y^{2})=$ $E(X) \times [D(Y)+E^{2}(Y)]=$ $\mu(\sigma^{2}+\mu^{2}).$
综上可知，本题的正确答案是：$\mu(\sigma^{2}+\mu^{2})$.
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