2011 年研究生入学考试数学一填空题第 6 题解析

题目

设二维随机变量 (X,Y) 服从正态分布 N(\mu,\mu;\sigma^{2},\sigma^{2};0),E(XY^{2})=____.

解析

由于在正态分布 X \sim N(\mu, \sigma^{2})E(X)=\mu,D(X)=\sigma^{2}. 而且二维正态分布中依然遵循这一定理。

于是,根据题目中的条件我们知道,E(X)=E(Y)=\mu,D(X)=D(Y)=\sigma^{2}.

又由 \rho=0 我们知道,XY 相互独立。根据随机变量的独立性中的如下性质:

X_{1},X_{2},\dots , X_{n},Y_{1},Y_{2},\dots , Y_{m} 相互独立,f(\cdot)n 元连续函数且 g(\cdot)m 元连续函数,则 f(X_{1},X_{2}, \cdots , X_{n})g(X_{1},X_{2}, \cdots , X_{m}) 也相互独立。

因此,我们知道,XY^{2} 也相互独立,于是有:
E(XY^{2})=E(X)E(Y^{2})=E(X) \times [D(Y)+E^{2}(Y)]=\mu(\sigma^{2}+\mu^{2}).

综上可知,本题的正确答案是:\mu(\sigma^{2}+\mu^{2})

EOF