2024年考研数二第13题解析：代换法解可分离变量的一阶微分方程

一、题目

难度评级：

二、解析

本题看上去像是可分离变量的微分方程，但是，直接进行变量分离却做不到。因此，我们只能将不容易进行变量分离的 “$x+y$” 这一部分，进行整体的代换，做等价变形之后再尝试变量分离。

令 $x+y=u$, 并对该式左右两边同时求导，得：

$$
1 + \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x} \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{orangered}{
y^{\prime} = u^{\prime} – 1 } \tag{1}
$$

将上面得 (1) 式和 $u = x+y$ 代入原式 $y^{\prime}$ $=$ $\frac{1}{(x+y)^{2}}$，得：

$$
u^{\prime}-1=\frac{1}{u^{2}}
$$

整理得：

$$
\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}=\frac{1+u^{2}}{u^{2}}
$$

即：

$$
\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} u}=\frac{u^{2}}{1+u^{2}}
$$

于是：

$$
\int \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} u} \mathrm{~d} u = \int \frac{u^{2}}{1+u^{2}} \mathrm{~d} u \Rightarrow
$$

$$
\int \mathrm{~d} x = \int \frac{u^{2}}{u^{2}+1} \mathrm{~d} u \Rightarrow
$$

$$
x + C = \int \frac{u^{2} + 1 – 1}{u^{2} + 1} \mathrm{~d} u \Rightarrow
$$

$$
x + C = \int 1 \mathrm{~d} u – \int \frac{1}{u^{2} + 1} \mathrm{~d} u \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{orangered}{
x + C = u – \arctan u } \tag{2}
$$

将 $u = x+y$ 代入 (2) 式，可得：

$$
\textcolor{orangered}{
y-\arctan (x+y) = C } \tag{3}
$$

接着，将 $y(1) = 0$ 代入上面得 (3) 式，可得：

$$
C=-\frac{\pi}{4}
$$

综上可知，本题的解为：

$$
\textcolor{springgreen}{
y-\arctan (x+y)=-\frac{\pi}{4} }
$$

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