2024年考研数二第13题解析:代换法解可分离变量的一阶微分方程

一、题目题目 - 荒原之梦

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

本题看上去像是可分离变量的微分方程,但是,直接进行变量分离却做不到。因此,我们只能将不容易进行变量分离的 “$x+y$” 这一部分,进行整体的代换,做等价变形之后再尝试变量分离。

令 $x+y=u$, 并对该式左右两边同时求导,得:

$$
1 + \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x} \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{orangered}{
y^{\prime} = u^{\prime} – 1 } \tag{1}
$$

将上面得 (1) 式和 $u = x+y$ 代入原式 $y^{\prime}$ $=$ $\frac{1}{(x+y)^{2}}$,得:

$$
u^{\prime}-1=\frac{1}{u^{2}}
$$

整理得:

$$
\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}=\frac{1+u^{2}}{u^{2}}
$$

即:

$$
\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} u}=\frac{u^{2}}{1+u^{2}}
$$

于是:

$$
\int \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} u} \mathrm{~d} u = \int \frac{u^{2}}{1+u^{2}} \mathrm{~d} u \Rightarrow
$$

$$
\int \mathrm{~d} x = \int \frac{u^{2}}{u^{2}+1} \mathrm{~d} u \Rightarrow
$$

$$
x + C = \int \frac{u^{2} + 1 – 1}{u^{2} + 1} \mathrm{~d} u \Rightarrow
$$

$$
x + C = \int 1 \mathrm{~d} u – \int \frac{1}{u^{2} + 1} \mathrm{~d} u \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{orangered}{
x + C = u – \arctan u } \tag{2}
$$

将 $u = x+y$ 代入 (2) 式,可得:

$$
\textcolor{orangered}{
y-\arctan (x+y) = C } \tag{3}
$$

接着,将 $y(1) = 0$ 代入上面得 (3) 式,可得:

$$
C=-\frac{\pi}{4}
$$

综上可知,本题的解为:

$$
\textcolor{springgreen}{
y-\arctan (x+y)=-\frac{\pi}{4} }
$$


荒原之梦考研数学思维导图
荒原之梦考研数学思维导图

高等数学箭头 - 荒原之梦

涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。

线性代数箭头 - 荒原之梦

以独特的视角解析线性代数,让繁复的知识变得直观明了。

特别专题箭头 - 荒原之梦

通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。

荒原之梦考研数学网 | 让考场上没有难做的数学题!

荒原之梦网全部内容均为原创,提供了涵盖考研数学基础知识、考研数学真题、考研数学练习题和计算机科学等方面,大量精心研发的学习资源。

豫 ICP 备 17023611 号-1 | 公网安备 - 荒原之梦 豫公网安备 41142502000132 号 | SiteMap
Copyright © 2017-2024 ZhaoKaifeng.com 版权所有 All Rights Reserved.

Copyright © 2024   zhaokaifeng.com   All Rights Reserved.
豫ICP备17023611号-1
 豫公网安备41142502000132号

荒原之梦 自豪地采用WordPress