2024年考研数二第11题解析:曲率圆的计算、曲率圆圆心的确定

一、题目题目 - 荒原之梦

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

如果不知道什么是曲率圆,或者不知道如何求解曲率圆,可以查看荒原之梦考研数学的下面这两篇文章:

  1. 什么是曲率?什么是曲率圆?
  2. 如何求解曲率圆的方程?

解法一

对于曲线 $y^{2}=x$, 我们可以将 $x$ 看作是 $y$ 的函数,因此就得到曲线:

$$
x(y) = y^{2}
$$

上面的曲线在点 $(0,0)$ 处的曲率为:

$$
K=\left.\frac{\left|x^{\prime \prime}(y)\right|}{\left(1+\left[x^{\prime}(y)\right]^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\right|_{(0,0)} = \frac{2}{(1+0)^{\frac{3}{2}}} = 2
$$

于是该曲率圆的曲率半径为:

$$
R=\frac{1}{K}=\frac{1}{2}
$$

接下来,本应该按照公式计算曲率圆 $(x-\alpha)^{2} + (y – \beta)^{2}$ $=$ $R^{2}$ 中的圆心 $(\alpha, \beta)$.

但是,一般情况下,要求解的曲率圆的圆心都在一个特殊的位置,因此,我们可以先通过求解切线等方式,看一看是否能通过几何关系确定曲率圆的圆心。

也就是说,曲线 $x(y) = y^{2}$ 在点 $(0, 0)$ 处的切线就是 $Y$ 轴。

图 01 是曲线 $x(y) = y^{2}$ 的函数图象:

2024年考研数二第10题解析:曲率圆的计算、曲率圆圆心的确定 | 图 01.
图 01.

根据圆形的几何特征,圆心位于切点内侧,距离切线(垂直距离)半径长度的地方,因此,该曲率圆的圆心为:

$$
\left(\frac{1}{2}, 0\right)
$$

因此,曲率圆方程为:

$$
\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+y^{2}=\frac{1}{4}
$$

即:

$$
x^{2}-x+y^{2}=0
$$

解法二

该解法与解法一的区别就是对曲线 $y^{2}=x$ 的处理方式不同——

在本解法中,我们将曲线 $y^{2}=x$ 看作是一个参数方程,之后,按照参数方程求曲率半径的公式求解。

首先,曲线 $y^{2}=x$ 对应的参数方程为:

$$
\left\{\begin{array}{l} x(t) = y^{2}\\ y(t) = y\end{array}\right.
$$

这篇笔记可知,参数方程计算曲率的公式为:

$$
K=\frac{\left|x^{\prime}(t) y^{\prime \prime}(t)-x^{\prime \prime}(t) y^{\prime}(t)\right|}{\left[x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)\right]^{\frac{3}{2}}}
$$

于是,在 $(0,0)$ 处,该曲率圆的曲率为:

$$
K=2
$$

之后的计算步骤和解法一相同。

综上可知,要求解的曲率圆为:

$$
x^{2}-x+y^{2}=0
$$


荒原之梦考研数学思维导图
荒原之梦考研数学思维导图

高等数学箭头 - 荒原之梦

涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。

线性代数箭头 - 荒原之梦

以独特的视角解析线性代数,让繁复的知识变得直观明了。

特别专题箭头 - 荒原之梦

通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。

荒原之梦考研数学网 | 让考场上没有难做的数学题!

荒原之梦网全部内容均为原创,提供了涵盖考研数学基础知识、考研数学真题、考研数学练习题和计算机科学等方面,大量精心研发的学习资源。

豫 ICP 备 17023611 号-1 | 公网安备 - 荒原之梦 豫公网安备 41142502000132 号 | SiteMap
Copyright © 2017-2024 ZhaoKaifeng.com 版权所有 All Rights Reserved.

Copyright © 2024   zhaokaifeng.com   All Rights Reserved.
豫ICP备17023611号-1
 豫公网安备41142502000132号

荒原之梦 自豪地采用WordPress