2024年考研数二第11题解析：曲率圆的计算、曲率圆圆心的确定

一、题目

难度评级：

二、解析

如果不知道什么是曲率圆，或者不知道如何求解曲率圆，可以查看荒原之梦考研数学的下面这两篇文章：

1. 什么是曲率？什么是曲率圆？
2. 如何求解曲率圆的方程？

解法一

对于曲线 $y^2=x$, 我们可以将 $x$ 看作是 $y$ 的函数，因此就得到曲线：

$$x(y)=y^2$$

上面的曲线在点 $(0,0)$ 处的曲率为：

$$K={\frac{|x^{\prime \prime }(y)|}{{(1+{[x^{\prime }(y)]}^2)}^{\frac{3}{2}}}|}_{(0,0)}=\frac{2}{(1+0{)}^{\frac{3}{2}}}=2$$

于是该曲率圆的曲率半径为：

$$R=\frac{1}{K}=\frac{1}{2}$$

接下来，本应该按照公式计算曲率圆 $(x-\alpha {)}^2+(y–\beta {)}^2$ $=$ $R^2$ 中的圆心 $(\alpha ,\beta )$.

但是，一般情况下，要求解的曲率圆的圆心都在一个特殊的位置，因此，我们可以先通过求解切线等方式，看一看是否能通过几何关系确定曲率圆的圆心。

对于曲线 $x(y)=y^2$, 我们计算其在点 $(0,0)$ 处的切线，先计算斜率 $k$:
$x(y)=y^2\Rightarrow$
$x^{\prime }(y)=2y\Rightarrow y=0\Rightarrow$
$k=x^{\prime }(0)=0$

于是：
$x=ky+b\Rightarrow$
$0=0\cdot y+0\Rightarrow$
$b=0$

于是可知，曲线 $x(y)=y^2$ 在点 $(0,0)$ 处的切线为：
$x=0$

也就是说，曲线 $x(y)=y^2$ 在点 $(0,0)$ 处的切线就是 $Y$ 轴。

图 01 是曲线 $x(y)=y^2$ 的函数图象：

根据圆形的几何特征，圆心位于切点内侧，距离切线（垂直距离）半径长度的地方，因此，该曲率圆的圆心为：

$$(\frac{1}{2},0)$$

因此，曲率圆方程为：

$${(x-\frac{1}{2})}^2+y^2=\frac{1}{4}$$

即：

$$x^2-x+y^2=0$$

解法二

该解法与解法一的区别就是对曲线 $y^2=x$ 的处理方式不同——

在本解法中，我们将曲线 $y^2=x$ 看作是一个参数方程，之后，按照参数方程求曲率半径的公式求解。

首先，曲线 $y^2=x$ 对应的参数方程为：

$$\{\begin{array}{l}x(t)=y^2\\ y(t)=y\end{array}$$

由这篇笔记可知，参数方程计算曲率的公式为：

$$K=\frac{|x^{\prime }(t)y^{\prime \prime }(t)-x^{\prime \prime }(t)y^{\prime }(t)|}{{[x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)]}^{\frac{3}{2}}}$$

于是，在 $(0,0)$ 处，该曲率圆的曲率为：

$$K=2$$

之后的计算步骤和解法一相同。

综上可知，要求解的曲率圆为：

$$x^2-x+y^2=0$$

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