2024年考研数二第11题解析：曲率圆的计算、曲率圆圆心的确定

一、题目

难度评级：

二、解析

如果不知道什么是曲率圆，或者不知道如何求解曲率圆，可以查看荒原之梦考研数学的下面这两篇文章：

1. 什么是曲率？什么是曲率圆？
2. 如何求解曲率圆的方程？

解法一

对于曲线 $y^{2}=x$, 我们可以将 $x$ 看作是 $y$ 的函数，因此就得到曲线：

$$
x(y) = y^{2}
$$

上面的曲线在点 $(0,0)$ 处的曲率为：

$$
K=\left.\frac{\left|x^{\prime \prime}(y)\right|}{\left(1+\left[x^{\prime}(y)\right]^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\right|_{(0,0)} = \frac{2}{(1+0)^{\frac{3}{2}}} = 2
$$

于是该曲率圆的曲率半径为：

$$
R=\frac{1}{K}=\frac{1}{2}
$$

接下来，本应该按照公式计算曲率圆 $(x-\alpha)^{2} + (y – \beta)^{2}$ $=$ $R^{2}$ 中的圆心 $(\alpha, \beta)$.

但是，一般情况下，要求解的曲率圆的圆心都在一个特殊的位置，因此，我们可以先通过求解切线等方式，看一看是否能通过几何关系确定曲率圆的圆心。

对于曲线 $x(y) = y^{2}$, 我们计算其在点 $(0, 0)$ 处的切线，先计算斜率 $k$:
$x(y) = y^{2} \Rightarrow$
$x^{\prime}(y) = 2y \Rightarrow y = 0 \Rightarrow$
$k = x^{\prime}(0) = 0$

于是：
$x = ky + b \Rightarrow$
$0 = 0 \cdot y + 0 \Rightarrow$
$b = 0$

于是可知，曲线 $x(y) = y^{2}$ 在点 $(0, 0)$ 处的切线为：
$\textcolor{blue}{
x = 0
}$

也就是说，曲线 $x(y) = y^{2}$ 在点 $(0, 0)$ 处的切线就是 $Y$ 轴。

图 01 是曲线 $x(y) = y^{2}$ 的函数图象：

根据圆形的几何特征，圆心位于切点内侧，距离切线（垂直距离）半径长度的地方，因此，该曲率圆的圆心为：

$$
\left(\frac{1}{2}, 0\right)
$$

因此，曲率圆方程为：

$$
\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+y^{2}=\frac{1}{4}
$$

即：

$$
x^{2}-x+y^{2}=0
$$

解法二

该解法与解法一的区别就是对曲线 $y^{2}=x$ 的处理方式不同——

在本解法中，我们将曲线 $y^{2}=x$ 看作是一个参数方程，之后，按照参数方程求曲率半径的公式求解。

首先，曲线 $y^{2}=x$ 对应的参数方程为：

$$
\left\{\begin{array}{l} x(t) = y^{2}\\ y(t) = y\end{array}\right.
$$

由这篇笔记可知，参数方程计算曲率的公式为：

$$
K=\frac{\left|x^{\prime}(t) y^{\prime \prime}(t)-x^{\prime \prime}(t) y^{\prime}(t)\right|}{\left[x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)\right]^{\frac{3}{2}}}
$$

于是，在 $(0,0)$ 处，该曲率圆的曲率为：

$$
K=2
$$

之后的计算步骤和解法一相同。

综上可知，要求解的曲率圆为：

$$
x^{2}-x+y^{2}=0
$$

---