2023年考研数二第18题解析：二元函数的极值、与奇偶性有关的解的判断

一、题目

求函数 $f(x, y)$ $=$ $x e^{\cos y}+\frac{x^{2}}{2}$ 的极值.

难度评级：

二、解析

首先，令 $f(x, y)$ $=$ $x e^{\cos y}+\frac{x^{2}}{2}$ 的一阶偏导等于零，确定可能的极值点：

$$
\begin{cases}
& f _ { x } ^ { \prime } = e ^ { \cos y } + x = 0 \\
& f _ { y } ^ { \prime } = – x \sin y \cdot e ^ { \cos y } = 0
\end{cases}
$$

可得：

$$
\begin{cases}
x_{0} = -e^{(-1)^{k}} \\
y_{0} = k \pi
\end{cases}, \ k=0, \ \pm 1, \ \pm 2, \ \ldots
$$

接着：

$$
\begin{aligned}
A= \\
& f_{x x}^{\prime \prime}=1 \\ \\
B= \\
& f_{x y}^{\prime \prime}=0 \\ \\
C= \\
& f_{y y}^{\prime \prime}=-x\left(\cos y \cdot e^{\cos y}-\sin ^{2} y e^{\cos x}\right) = \\
& e^{(-1)^{k}} \cdot(-1)^{k} \cdot e^{(-1)^{k}}
\end{aligned}
$$

由于：

$$
\Delta=A C-B^{2}=e^{(-1)^{k}}(-1)^{k} \cdot e^{(-1)^{k}}
$$

因此，当 $k$ 为奇数时, $\Delta=-e^{-2}<0$，$(x_{0}, y_{0})$ 不是极值点；

当 $k$ 为偶数时, $\Delta=e^{2}>0$，$(x_{0}, y_{0})$ 是极值点，且由于 $A=1>0$，因此 $(x_{0}, y_{0})$ 为极小值点。此时的极小值为:

$$
f(-e, k \pi)=-e \cdot e+\frac{1}{2} e^{2}=\frac{-1}{2} e^{2}
$$

其中, $k$ 为偶数.

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