2023年考研数二第07题解析：极值点与拐点和一阶导二阶导之间的关系

一、题目

设函数 $f(x)=\left(x^{2}+a\right) e^{x}$, 若 $f(x)$ 没有极值点, 但曲线 $y=f(x)$ 有拐点, 则 $a$ 的取值范围是( )

难度评级：

二、解析

首先，我们要明白，函数一阶导等于零的点并不一定是极值点，只有一阶导的正负发生改变的点才是极值点（相关内容可以参考：文章一、文章二）；

同样的，函数二阶导等于零的点也不一定是拐点，只有二阶导的正负发生改变的点才是拐点。

先对 $f(x)=\left(x^{2}+a\right) e^{x}$ 求一阶导：

$$
\textcolor{springgreen}{
f^{\prime}(x)=2 x e^{x}+\left(x^{2}+a\right) e^{x}=\left(x^{2}+2 x+a\right) e^{x}
}
$$

题目说 $f(x)$ 无极值点，就意味着，一阶导 $f^{\prime}(x)$ 要么没有实数根，要么一阶导的正负没有发生改变：

① $f^{\prime}(x)$ 没有实数根，说明一阶导 $f^{\prime}(x)$ 的函数图像与坐标轴的 $X$ 轴没有交点，$f(x)$ 的单调性不会发生改变，此时也就不可能存在极值点，如图 01 所示：

② 由于 $\textcolor{springgreen}{\lim_{x \rightarrow + \infty} f^{\prime}(x) > 0}$ 且 $\textcolor{springgreen}{\lim_{x \rightarrow – \infty} f^{\prime}(x) > 0}$, 因此，如果该点处的一阶导函数值也大于（就是前述 ① 所说的不存在实数根）或等于零（与 $X$ 轴有交点 $x_{0}$，$f^{\prime}(x_{0}) = 0$），则说明 $f(x)$ 的单调性没有发生改变，此时同样不存在极值点。

但是，如果说存在交点，那么应该存在一个交点还是两个呢？

分析可知，在一阶导函数 $f^{\prime}(x)=\left(x^{2}+2 x+a\right) e^{x}$ 中，$x^{2}+2 x+a$ 的增减性最多只会变化一次，而 $e^{x}$ 则是单调递增的函数，因此，$f^{\prime}(x)$ 的单调性最多只会变化一次，那么，为了使 $f^{\prime}(x)$ 不出现负值，则此时只能是如图 02 所示的有一个实数根的情况（$f^{\prime}(x)$ 没有小于零的部分），而不能是如图 03 所示的有两个实数根的情况（$f^{\prime}(x)$）：

接下来，我们就对上述两种情况逐一计算：

当函数 $f^{\prime}(x)$ 没有实数根时，即 $x^{2}+2 x+a$ 无实根 $\Rightarrow$

$$
x_{0} = \frac{-2 \pm \sqrt{4-4 a}}{2} \ \text{ 不是实数 } \Rightarrow
$$

$$
4-4 a < 0 \Rightarrow a > 1
$$

当函数 $f^{\prime}(x)$ 只有一个实数根时，即 $4-4a = 0$, 此时：

$$
a = 1
$$

综上，若 $f(x)$ 没有极值点，则：

$$
\textcolor{springgreen}{
a \geqslant 1
}
$$

接着，判断函数 $f(x)$ 的拐点情况，需要先求解二阶导：

$$
f^{\prime \prime}(x)=\left(2 x+2+x^{2}+2 x+a\right) e^{x} \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{springgreen}{
f^{\prime \prime}(x)=\left(x^{2}+4 x+2+a\right) e^{x}
}
$$

若 $f(x)$ 有拐点，则需有（有拐点时二阶导一定等于零，但二阶导等于零时不一定有拐点）：

$$
f^{\prime \prime}(x)=0
$$

但从上面的 $f^{\prime \prime}(x)=0$, 我们只能得出 $f^{\prime \prime}(x)$ 有实数根这一结论，那么，$f^{\prime \prime}(x)$ 有一个实数根还是两个实数根呢？

与前面对一阶导 $f^{\prime}(x)$ 的分析类似，由于 $\lim_{x \rightarrow + \infty} f^{\prime \prime}(x) > 0$, 且 $\lim_{x \rightarrow – \infty} f^{\prime \prime}(x) > 0$, 如果 $f^{\prime \prime}(x)$ 只有一个实数根，则 $f^{\prime \prime}(x)$ 的正负性就不会发生改变，也就无法形成拐点，因此，若要使 $f^{\prime \prime}(x)$ 的正负性发生改变，就必须有两个实数根。

因此：

$$
\frac{-4 \pm \sqrt{16-4(a+2)}}{2} \ \text { 有两个互异实根 } \Rightarrow
$$

$$
16-4(a+2)>0 \Rightarrow a<2
$$

综上可知：

$$
a \in [1, 2)
$$

本题正确选项为：C.

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