2023年考研数二第06题解析：换元积分、指数函数的求导法则

一、题目

若函数 $f(\alpha)=\int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x(\ln x)^{\alpha+1}} \mathrm{~d} x$ 在 $\alpha=\alpha_{0}$ 处取得最小值, 则 $\alpha_{0}=?$

难度评级：

二、解析

首先，求解出 $f(\alpha)$ 的表达式：

$$
f(\alpha) = \int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x(\ln x)^{\alpha+1}} \mathrm{~d} x \Rightarrow
$$

又 $(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}$, 所以：

$$
f(\alpha) = \int_{2}^{+\infty} \frac{1}{(\ln x)^{\alpha+1}} \mathrm{~d} (\ln x) \Rightarrow
$$

$$
f(\alpha) = \int_{2}^{+\infty}(\ln x)^{-(\alpha+1)} \mathrm{~d} (\ln x) \Rightarrow
$$

$$
f(\alpha) = \left.\frac{1}{-\alpha}(\ln x)^{-\alpha}\right|_{2} ^{+\infty}=\frac{-1}{\alpha}\left[0-\frac{1}{(\ln 2)^{\alpha}}\right] \Rightarrow
$$

$$
f(\alpha) = \frac{1}{\alpha (\ln 2)^{\alpha}} = \frac{1}{\alpha} \cdot \frac{1}{(\ln 2)^{\alpha}}
$$

注意：
$$(a^{x})_{x}^{\prime} = a^{x} \ln a$$

接着，我们可以直接通过对 $f(\alpha)$ 求导的方式，找出使其一阶导等于零的点就是我们要找的最小值点（由于本题是选择题，如果只有一个极值点，则一定是最小值点，无需额外验证）：

$$
f^{\prime}(\alpha)=\frac{-1}{\alpha^{2}} \cdot \frac{1}{(\ln 2)^{\alpha}}+\frac{1}{\alpha} \cdot(\ln 2)^{-\alpha} \cdot \ln (\ln 2) \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime}(\alpha)=\frac{1}{(\ln 2)^{\alpha}}\left[\frac{-1}{\alpha^{2}}+\frac{\ln (\ln 2)}{\alpha}\right] \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime}(\alpha)=0 \Rightarrow
$$

$$
\alpha \ln (\ln 2)=-1 \Rightarrow \alpha=\frac{-1}{\ln (\ln 2)}
$$

或者，为了简化计算，我们也可以找 $f(\alpha)$ 原式中一部分函数的极值点：$\alpha(\ln 2)^{\alpha}$ 的极大值点就是 $\frac{1}{\alpha (\ln 2)^{\alpha}}$ 的极小值点，$\alpha(\ln 2)^{\alpha}$ 的极小值点就是 $\frac{1}{\alpha (\ln 2)^{\alpha}}$ 的极大值点：

令：

$$
g(\alpha)=\alpha(\ln 2)^{\alpha}
$$

则：

$$
g^{\prime}(\alpha)=(\ln 2)^{\alpha}+\alpha \cdot(\ln 2)^{\alpha} \cdot \ln (\ln 2) \Rightarrow
$$

$$
g^{\prime}(\alpha)=(\ln 2)^{\alpha} \cdot(1+\alpha \ln (\ln 2)) \Rightarrow
$$

$$
g^{\prime}(\alpha)=0 \Rightarrow
$$

$$
1+\alpha(\ln (\ln 2))=0 \Rightarrow
$$

$$
\alpha(\ln (\ln 2))=-1 \Rightarrow \alpha=\frac{-1}{\ln (\ln 2)}
$$

综上可知，本题正确选项为：A.

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