导数和原函数的周期性是一致的

一、题目

已知 $f(x)$ 是周期为 $5$ 的连续函数, 在 $x=0$ 的某个邻域内, 满足 $f(1+\sin x)-3 f(1-\sin x)=8 x+\alpha(x)$. 其中当 $x \rightarrow 0$ 时, 函数 $\alpha(x)$ 是关于 $x$ 的高阶无穷小, 且 $f(x)$ 在 $x=1$ 点可导, 则曲线 $y=f(x)$在点 $(6, f(6))$ 处的切线方程为（）

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二、解析

$$
f(1+\sin x)-3 f(1-\sin x)=8 x+2(x) \Rightarrow
$$

$$
x=0 \Rightarrow f(1)-3 f(1)=0 \Rightarrow f(1)=0 \Rightarrow
$$

$$
\cos x f^{\prime}(1+\sin x)+3 \cos x f^{\prime}(1-\sin x)=8 \Rightarrow
$$

$$
x=0 \Rightarrow f^{\prime}(1)+3 f^{\prime}(1)=8 \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime}(1)=2
$$

$$
f(6)=f(1)=0, \quad f^{\prime}(6)=f^{\prime}(1)=2 \Rightarrow
$$

$$
y-f(6)=k(x-6) \Rightarrow
$$

$$
y-f(1)=2(x-6) \Rightarrow \textcolor{springgreen}{y=2 x-12}
$$

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