秩不相等的矩阵一定不相似，主对角线上的元素不对应相等的矩阵一定不相似

一、题目

下列矩阵中, $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 相似的是哪个？

(A) $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 2\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 2 & 2\end{array}\right]$

(B) $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 2\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 2\end{array}\right]$

(C) $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 3\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 2\end{array}\right]$

(D) $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll}3 & 0 \\ 0 & 3\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ll}3 & 0 \\ 1 & 3\end{array}\right]$

难度评级：

二、解析

A 选项：

两个矩阵秩不相等，因此一定不相似。

B 选项：

特征值对应相同，秩也相等：

$$
A \sim \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 2
\end{bmatrix}
$$

$$
B \sim \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 2
\end{bmatrix}
$$

于是：

$$
A \sim B
$$

C 选项：

主对角线上的元素对应不相等，因此不相似。

且进一步验证可知，该选项中的两个矩阵对应的特征值也是不一样的：

$$
\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 3\end{array}\right] \Rightarrow
$$

$$
|\lambda E-A|=0 \Rightarrow\left|\begin{array}{cc}\lambda-1 & -1 \\ -1 & \lambda-3\end{array}\right|=0 \Rightarrow
$$

$$
(\lambda-1)(\lambda-3)-1=0 \Rightarrow
$$

$$
\lambda_{1}=2+\sqrt{2}, \lambda_{2}=2-\sqrt{2}
$$

又：

$$
\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 2\end{array}\right] \Rightarrow
$$

$$
|\lambda E-A|=0 \Rightarrow\left|\begin{array}{cc}\lambda-1 & 0 \\ -1 & \lambda-2\end{array}\right|=0 \Rightarrow
$$

$$
(\lambda – 1)(\lambda – 2)=0 \Rightarrow
$$

$$
\lambda_{1}=1, \quad r_{2}=2
$$

D 选项：

对于特征值 B，有：

$$
(3 E-A)=\left[\begin{array}{ll}3 & 0 \\ 0 & 3\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ll}3 & 0 \\ 1 & 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 1 & 0\end{array}\right]
$$

即：

$$
r(3 E-A) = 1 \neq 2
$$

因此，该矩阵的二重特征值 $3$ 只有一个线性无关的特征向量，故该矩阵不可以相似对角化。

综上可知，本题正确选项为 B.

---