如何通过方程组的基础解系验证一个向量是否是该方程组的解向量？

一、题目

若 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,1,-1)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,2,0)^{\mathrm{\top}}$ 是齐次方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系, 那么下列向量中，属于 $A x=0$ 解向量的是哪个？

(A) $(1,-1,3)^{\mathrm{\top}}$

(B) $(2,1,-3)^{\mathrm{\top}}$

(C) $(2,2,-5)^{\mathrm{\top}}$

(D) $(2,-2,6)^{\mathrm{\top}}$

难度评级：

二、解析

基础解系可以表示方程组的任意一个解，因此，如果一个向量是方程的解，那么必然可以被基础解系消去。例如，对于 B 选项中的解向量：

$$
\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & -3\end{array}\right] \Rightarrow
$$

初等行变换：

$$
\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -1\end{array}\right] \Rightarrow
$$

初等行变换：

$$
\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]
$$

综上可知，B 选项正确。

注意：为了保证是用 $\alpha_{1} = (1,1,-1)^\mathrm{\top}$ 和 $\alpha_{2} = (1,2,0)^\mathrm{\top}$ 消去列向量 $(2,1,-3)^{\mathrm{\top}}$, 如果要使用初等列变换，则要写成如下形式：

$$
\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & -3\end{array}\right]
$$

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