错题总结:明确求导过程中的自变量很关键

例题:对下面的函数求导

[latex]f(x) = \sqrt{1+x} + \sqrt{1-x} – 2 [/latex]

错误的求导过程

[latex]{f}'(x) = {(\sqrt{1 + x})}’ + {(\sqrt{1 – x})}’ + {2}’={((1 + x)^{\frac{1}{2}})}’ + {((1 – x)^{\frac{1}{2}})}’=\frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{1+x}} + \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{1-x}}=\frac{1}{2 \sqrt{1+x}} + \frac{1}{2 \sqrt{1-x}}[/latex]

上面这个计算过程是错的,错误的原因是在计算 [latex]\sqrt{1+x}[/latex] 的导数时把 [latex]1+x[/latex] 视作了自变量,也就是说把 [latex]1+x[/latex] 视作了求导对象;而在对 [latex]\sqrt{1-x}[/latex] 求导时,又把 [latex]1-x[/latex] 看作了求导自变量。

很显然,一个二维函数中不可能有两个不同的自变量,而且根据约定可知,当式子中出现 [latex]f(x)[/latex] 或者 [latex]lim_{x \to 0}[/latex] 时,就表明这个式子中的自变量是 [latex]x[/latex] 且求导也要对 [latex]x[/latex] 求导。

正确的求导过程

这里我们可以使用复合函数求导的链式法则计算本例题,复合函数的链式求导法则如下:

设 [latex]y = f(u), u = \mu(x)[/latex], 如果 [latex]\mu(x)[/latex] 在 [latex]x[/latex] 处可导,[latex]f(x)[/latex] 在对应点 [latex]u[/latex] 处可导,则复合函数 [latex]y = f[\mu(x)][/latex] 在 [latex]x[/latex] 处可导,且有:

[latex]\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\frac{du}{dx} = {f}'[\mu(x)]{\mu}'(x)[/latex]

于是,对于例题的正确求导过程如下:

[latex]{f}'(x) = {(\sqrt{1 + x})}’ + {(\sqrt{1 – x})}’ + {2}’={((1 + x)^{\frac{1}{2}})}’ + {((1 – x)^{\frac{1}{2}})}’=\frac{1}{2}(1 + x)^{-\frac{1}{2}} + \frac{1}{2}(1 – x)^{-\frac{1}{2}}
=\frac{1}{2}(1 + x)^{-\frac{1}{2}}\times{(x)}’ + \frac{1}{2}(1 – x)^{-\frac{1}{2}} \times {(-x)}’=\frac{1}{2\sqrt{1+x}} – \frac{1}{2 \sqrt{1-x}}[/latex]