错题总结:明确求导过程中的自变量很关键

例题:对下面的函数求导

f(x) = \sqrt{1+x} + \sqrt{1-x} - 2

错误的求导过程

{f}'(x) = {(\sqrt{1 + x})}' + {(\sqrt{1 - x})}' + {2}'={((1 + x)^{\frac{1}{2}})}' + {((1 - x)^{\frac{1}{2}})}'=\frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{1+x}} + \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{1-x}}=\frac{1}{2 \sqrt{1+x}} + \frac{1}{2 \sqrt{1-x}}

上面这个计算过程是错的,错误的原因是在计算 \sqrt{1+x} 的导数时把 1+x 视作了自变量,也就是说把 1+x 视作了求导对象;而在对 \sqrt{1-x} 求导时,又把 1-x 看作了求导自变量。

很显然,一个二维函数中不可能有两个不同的自变量,而且根据约定可知,当式子中出现 f(x) 或者 lim_{x \to 0} 时,就表明这个式子中的自变量是 x 且求导也要对 x 求导。

正确的求导过程

这里我们可以使用复合函数求导的链式法则计算本例题,复合函数的链式求导法则如下:

y = f(u), u = \mu(x), 如果 \mu(x)x 处可导,f(x) 在对应点 u 处可导,则复合函数 y = f[\mu(x)]x 处可导,且有:

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\frac{du}{dx} = {f}'[\mu(x)]{\mu}'(x)

于是,对于例题的正确求导过程如下:

{f}'(x) = {(\sqrt{1 + x})}' + {(\sqrt{1 - x})}' + {2}'={((1 + x)^{\frac{1}{2}})}' + {((1 - x)^{\frac{1}{2}})}'=\frac{1}{2}(1 + x)^{-\frac{1}{2}} + \frac{1}{2}(1 - x)^{-\frac{1}{2}}<br /> =\frac{1}{2}(1 + x)^{-\frac{1}{2}}\times{(x)}' + \frac{1}{2}(1 - x)^{-\frac{1}{2}} \times {(-x)}'=\frac{1}{2\sqrt{1+x}} - \frac{1}{2 \sqrt{1-x}}