一、题目
已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 1\end{array}\right]$, 则 $\boldsymbol{A}^{5}=?$
难度评级：
二、解析 
已知：
$$
A=\left[\begin{array}{ll}B & O \\ O & C\end{array}\right] \Rightarrow
$$
$$
A^{n}=\left[\begin{array}{cc}B^{n} & O \\ O & C^{n}\end{array}\right]
$$
且：
$$
B=\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right] \Rightarrow
$$
Tips:
矩阵 $B$ 就是一个交换了第一行和第二行的初等矩阵，每自乘依次都会交换一次第一行和第二行。
$$
B^{2 k}=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right] \Rightarrow
$$
$$
B^{2 k+1}=\left[\begin{array}{cc}0 & 10 \\ 1 & 0\end{array}\right]
$$
$$
r(C)=1 \Rightarrow
$$
Tisp:
矩阵 $C$ 是秩为 $1$ 的矩阵，其性质可以参考《秩为 1 的矩阵的性质总结》
$$
c^{n}=[\operatorname{tr}(c)]^{n-1} \cdot C
$$
于是：
$$
B^{5}=\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right]
$$
$$
C^{5}=2^{4} \cdot C \Rightarrow
$$
$$
C^{5}=\left[\begin{array}{cc}2^{4} & -2^{4} \\ -2^{4} & 2^{4}\end{array}\right] \Rightarrow
$$
$$
A^{5}=\left[\begin{array}{cc}B^{5} & O \\ O & C^{5}\end{array}\right] \Rightarrow
$$
$$
A^{5}=\left[\begin{array}{cccc}0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2^{4} & -2^{4} \\ 0 & 0 & -2^{4} & 2^{4}\end{array}\right]
$$
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