什么情况下主对角线上的元素就是矩阵的特征值？

一、前言

你知道在哪些形式的矩阵中，矩阵对角线上的元素就是该矩阵的特征值吗？

难度评级：

！注意： 实对称矩阵主对角线上的元素不一定是特征值。

二、正文

根据特征值的求解公式 $|\lambda E – A| = 0$ 可知，以下三类矩阵的主对角线元素都是特征值：

⭐ 对角矩阵
⭐ 上三角矩阵
⭐ 下三角矩阵

同时，如果上面这三种矩阵主对角线上的元素互不相等，则就构成了可相似对角化的充分条件。

原理如下：

$$
|A| = \left|\begin{array}{lll}a & & \\ & b & \\ & & c\end{array}\right| \Rightarrow|\lambda E – A|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda-a & 0 & 0 \\ 0 & \lambda-b & 0 \\ 0 & 0 & \lambda-c\end{array}\right|=0 \Rightarrow
$$

$$
(\lambda -a) (\lambda – b) (\lambda – c) = 0.
$$

$$
|A| = \left|\begin{array}{lll}a & * & * \\ 0 & b & * \\ 0 & 0 & c\end{array}\right| \Rightarrow|\lambda E – A|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda-a & * & * \\ 0 & \lambda-b & * \\ 0 & 0 & \lambda-c\end{array}\right|=0 \Rightarrow
$$

$$
(\lambda -a) (\lambda – b) (\lambda – c) = 0.
$$

$$
|A| = \left|\begin{array}{ccc}a & 0 & 0 \\ * & b & 0 \\ * & * & c\end{array}\right| \Rightarrow|\lambda E – A|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda-a & 0 & 0 \\ -* & \lambda-b & 0 \\ -* & -* & \lambda-c\end{array}\right|=0 \Rightarrow
$$

$$
(\lambda -a) (\lambda – b) (\lambda – c) = 0.
$$

Tips: “$*$” 表示任意为零或者非零的实数。

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