千万不要被这道题目的表象骗了：有些条件并不是真正的已知条件

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵, $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 是三维线性无关的列向量，且 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1}=\boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{2}=\boldsymbol{\alpha}_{1}+$ $\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{3}=\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}$, 则矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值是（）

难度评级：

二、解析

错误解法

本题乍看上去像是可以凑成如下形式，直接计算出特征值：

$$
A \alpha_{1} = \alpha_{2} + \alpha_{3} = \lambda_{1} \alpha_{1}
$$

$$
A \alpha_{2} = \alpha_{1} + \alpha_{3} = \lambda_{2} \alpha_{2}
$$

$$
A \alpha_{3} = \alpha_{1} + \alpha_{2} = \lambda_{3} \alpha_{3}
$$

但是，这么做的一个漏洞在于，题目中并没有说 $\alpha_{1}$, $\alpha_{2}$ 和 $\alpha_{3}$ 是矩阵 $A$ 的特征值，因此，上面的步骤就不成立。

正确解法

由题可得：

$$
A\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)=
$$

$$
\left(A \alpha_{1}, A \alpha_{2}, A \alpha_{3}\right)=
$$

$$
\left(\alpha_{2}+\alpha_{3}, \alpha_{1}+\alpha_{3}, \alpha_{1}+\alpha_{2}\right)=
$$

$$
\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right]
$$

于是，若令：

$$
P=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right), \quad B=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right]
$$

其中，$P$ 是可逆矩阵。

则：

$$
A P=P B \Rightarrow P^{-1} A P=P^{-1} P B \Rightarrow P^{-1} A P=B \Rightarrow
$$

$$
A \sim B \Rightarrow
$$

$$
\lambda E-A \sim \lambda E-B
$$

Tips:

相似矩阵的特征值相同。

于是：

$$
|\lambda E-B|=0 \Rightarrow\left|\begin{array}{ccc}\lambda & -1 & -1 \\ -1 & \lambda & -1 \\ -1 & -1 & \lambda\end{array}\right|=0 \Rightarrow
$$

$$
\left|\begin{array}{ccc}\lambda+1 & -1-\lambda & 0 \\ 0 & \lambda+1 & -1-\lambda \\ -1 & -1 & \lambda\end{array}\right|=0 \Rightarrow
$$

$$
\lambda(\lambda+1)^{2}-(-1-\lambda)^{2}+(\lambda+1)(-1-\lambda)=0 \Rightarrow
$$

$$
\lambda(\lambda+1)^{2}-(\lambda+1)^{2}-(\lambda+1)^{2}=0 \Rightarrow
$$

$$
(\lambda+1)^{2}(\lambda-2)=0 \Rightarrow
$$

$$
\lambda_{1}=-1, \lambda_{2}=-1, \lambda_{3}=2
$$

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