怎么保证这道题目中矩阵的秩为二:回头验证很重要

一、题目题目 - 荒原之梦

已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(a, a, 1)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}=(a, 1, a)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}=(1, a, a)^{\mathrm{\top}}$ 的秩是 $2$, 则 $a=?$

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

$$
r\left[\begin{array}{ccc}a & a & 1 \\ a & 1 & a \\ 1 & a & a\end{array}\right]=2 \Rightarrow
$$

$$
r\left[\begin{array}{ccc}a & a & 1 \\ 0 & 1-a & a-1 \\ 0 & a-1 & a-\frac{1}{a}\end{array}\right]=2 \Rightarrow
$$

$$
r\left[\begin{array}{ccc}a & a & 1 \\ 0 & 1-a & a-1 \\ 0 & 0 & 2 a-\frac{1}{a}-1\end{array}\right]=2 \Rightarrow
$$

$$
2 a-\frac{1}{a}-1=0 \Rightarrow
$$

$$
2 a^{2}-1-a=0 \Rightarrow
$$

$$
a=\frac{1 \pm \sqrt{1+8}}{4}=\frac{1 \pm 3}{4} \Rightarrow
$$

$$
a = 1, a = \frac{-1}{2}
$$

将 $a = 1$ 和 $a = \frac{-1}{2}$ 代入原来的矩阵可知,当 $a = 1$ 时,秩为 $1$, 当 $a = \frac{-1}{2}$ 时,秩为 $2$, 因此:

$$
a = \frac{-1}{2}.
$$


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