一、题目
已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(a, a, 1)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}=(a, 1, a)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}=(1, a, a)^{\mathrm{\top}}$ 的秩是 $2$, 则 $a=?$
难度评级：
二、解析 
$$
r\left[\begin{array}{ccc}a & a & 1 \\ a & 1 & a \\ 1 & a & a\end{array}\right]=2 \Rightarrow
$$
$$
r\left[\begin{array}{ccc}a & a & 1 \\ 0 & 1-a & a-1 \\ 0 & a-1 & a-\frac{1}{a}\end{array}\right]=2 \Rightarrow
$$
$$
r\left[\begin{array}{ccc}a & a & 1 \\ 0 & 1-a & a-1 \\ 0 & 0 & 2 a-\frac{1}{a}-1\end{array}\right]=2 \Rightarrow
$$
$$
2 a-\frac{1}{a}-1=0 \Rightarrow
$$
$$
2 a^{2}-1-a=0 \Rightarrow
$$
$$
a=\frac{1 \pm \sqrt{1+8}}{4}=\frac{1 \pm 3}{4} \Rightarrow
$$
$$
a = 1, a = \frac{-1}{2}
$$
将 $a = 1$ 和 $a = \frac{-1}{2}$ 代入原来的矩阵可知，当 $a = 1$ 时，秩为 $1$, 当 $a = \frac{-1}{2}$ 时，秩为 $2$, 因此：
$$
a = \frac{-1}{2}.
$$
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